Calcul valeurs propres / vecteurs propres

[davidou0201]

Bonjour, je suis bloquer depuis hier :marteau: sur une matrice dont je n'arrive pas a trouver les valeurs propres ainsi que ses vecteurs propres : quelqu'un serait-il capable de les trouver ?

La matrice ce présente ainsi :

1 a
a 1

Désolé pour la présentation de la matrice mais je n'ai pas trouvé d'autres moyen :hein: :happy2:

[vincentroumezy]

Salut.
T'as essayé quelque chose ? Polynôme caractéristique ?

[davidou0201]

Salut.
T'as essayé quelque chose ? Polynôme caractéristique ?

J'ai fait l'équation caractéristique : (A-UI) = 0

1-U a
a 1-U

je l'ai égalisé à 0 et fait la formule (ab-dc):

(1-U)^2 - a^2 = 0

et la normalement je trouve u1 = ... u2 = ... mais avec ce "a" je ne vois pas quelle valeurs propres pourrait prendre ma matrice

[vincentroumezy]

Peut être que les valeurs propres, ou leur existence dépend de ce "a".
Développes ton expression, ça te fera une simple équation du second degré à étudier.

[davidou0201]

Peut être que les valeurs propres, ou leur existence dépend de ce "a".
Développes ton expression, ça te fera une simple équation du second degré à étudier.

J'arrive à :

U^2 - 2U + 1 + a^2 = 0

Si U=1 il me reste a^2 = 0 mais je ne vois toujours pas quelles sont mes valeurs propres ? Connait-tu la solution ?

[vincentroumezy]

Résouds cette équation, comme n'importe quelle équation du second degré (en cherchant les valeurs de a pour lesquelles le discriminant est positif, nul ou négatif).

[davidou0201]

Résouds cette équation, comme n'importe quelle équation du second degré (en cherchant les valeurs de a pour lesquelles le discriminant est positif, nul ou négatif).

Donc il faut que U=1 et que a=0 ?
Car c'est le seul moyen pour que mon équation égalise 0 ... vu que a sera toujours positif autrement

Mais je ne comprend pas ce que vaux ma valeur propre alors , c'est une valeur propre unique u1=1 avec une condition " si a=0 " ?

[Nightmare]

L'inconnue de ton équation est U, a n'est qu'un paramètre.

Quelle méthode connais-tu pour résoudre une équation du second degré? Que donne-t-elle appliquée à ton équation?

[davidou0201]

L'inconnue de ton équation est U, a n'est qu'un paramètre.

Quelle méthode connais-tu pour résoudre une équation du second degré? Que donne-t-elle appliquée à ton équation?

Je fait la formule:
-b +- racine b^2 - 4.a.c / 2a et j'obtient U = 1 , est ce ma valeur propre ?

Car en général j'obtient des valeurs comme U = 2,3,4 .... ce qui me permet de calculer ensuite les vecteurs propres mais cette fois j'ai a^2 dans mon équation et je ne sais vraiment pas comment faire ?

[Nightmare]

Je ne comprends pas comment tu obtiens U=1.

Ton équation est x^2-2x+1+t^2. (J'ai renommé a en t par soucis de lisibilité)

qui sont alors a, b et c dans la forme ax^2+bx+c?

[davidou0201]

Je ne comprends pas comment tu obtiens U=1.

Ton équation est x^2-2x+1+t^2. (J'ai renommé a en t par soucis de lisibilité)

qui sont alors a, b et c dans la forme ax^2+bx+c?

Tu as raisons, je me suis surement trompé mais je considérais :

x^2 comme a
-2x comme b
et 1 comme c
... en laissant sur le coté mon paramètre a ...

Je n'arrive vraiment pas à résoudre cette équation, as-tu trouvé une solution ? Quelle formule utiliserais-tu ?

[Nightmare]

Non ça ne va pas du tout. Dans ax^2+bx+c, a est le coefficient de x^2. Quel est le coefficient de x^2 dans x^2-2x+1-t^2? Quel est le coefficient de x? C'est notre b. Quel est le coefficient constant? C'est notre c

[Nightmare]

Pour t'aider, remplace t par 1. Comment résous-tu l'équation? Et si tu le remplaces par 167? Et si tu le remplaces par racine de 2?

[davidou0201]

Désolé je m'embrouille de plus en plus ... je voulais juste connaitre la valeur de mes valeurs propres pour cette matrice et que quelqu'un me donne une formule ou une technique à utiliser mais visiblement il y a un problème , je n'arrive pas a résoudre cette équation ... Personne me donne de formule concrète et je n'arriverais pas à developper quoi que ce soit par moi même :(

Merci quand même pour votre aide :)

[Nightmare]

Nous t'avons donné toutes les clés, c'est une simple équation du second degré que tu devrais savoir résoudre. je te suggère de te réentrainer à résoudre ces équations avant de continuer ton exercice.

[davidou0201]

Non ça ne va pas du tout. Dans ax^2+bx+c, a est le coefficient de x^2. Quel est le coefficient de x^2 dans x^2-2x+1-t^2? Quel est le coefficient de x? C'est notre b. Quel est le coefficient constant? C'est notre c

Dites moi si je me trompe, cela sera ma dernière tentative :ptdr: :

si le delta = 0 il y a qu'une seule solution qui est x1=-b/2a, et on peut écrire
ax²+bx+c sous la forme a(x-x1)²

Par exemple : x² - 2x + 1 = 0 ( a=1 , b=-2 , c = 1 )

delta = (-2)²-4=4-4=0

Il y a donc 1 seule solution qui est x1=-b/2a=2/2=1
x² - 2x + 1 = (x-1)²

Donc ma valeur propre est U=1 comme je le disais, non ? Ou alors a^2 = 1 et donc a = 1 / -1 et je remplace tour à tour dans ma matrice a =1 et a= -1 ?

[MacManus]

Dites moi si je me trompe, cela sera ma dernière tentative :ptdr: :

si le delta = 0 il y a qu'une seule solution qui est x1=-b/2a, et on peut écrire
ax²+bx+c sous la forme a(x-x1)²

Par exemple : x² - 2x + 1 = 0 ( a=1 , b=-2 , c = 1 )

delta = (-2)²-4=4-4=0

Il y a donc 1 seule solution qui est x1=-b/2a=2/2=1
x² - 2x + 1 = (x-1)²

Salut,
Oui, mais justement dans notre cas, le coefficient constant c, ne vaut pas 1.