Vecteurs propres depuis valeurs propres complexes

[Subsib]

Bonjour,

Une question concernant la méthode à suivre afin de trouver les vecteurs propres lorsqu'on a des valeurs propres complexes ?

Exemple :
0 4
-1 0

Les valeurs propres sont 2i et -2i.
Heu... Mais heu... Je fais comment pour trouver les vecteurs propres, il y en a ?
Parce que dans la correction, on me dit
, donc la transposée, soit :
(2, 0) et (0, 1).
Mais là, j'avoue que je ne comprends pas très bien comment on passe des racines complexes aux vecteurs propres.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ?

[Ben314]

Salut,
Ben...
Y'a pas grand chose à expliquer vu que tu fait tout pareil que dans le cas réel (sans la moindre exeption).
La seule différence, c'est que les calculs sont en général plus chiant vu qu'il faut résoudre des systèmes linéaires à coeff complexes.
Encore que, au fond, je préfère avoir et comme valeurs propres plutôt que et ...

[Subsib]

ok, tout pareil, donc.

Je suis surprise, même si dans le fond ça ne change rien, de trouver [2, 0] comme vecteur propre plutôt que [1, 0], je m'étais dit qu'il y avait peut être une astuce que j'ignorais.

Merci

[Robot]

, donc la transposée, soit :
(2, 0) et (0, 1).

Quel sens a ce que tu écris là ? Tu vois bien que ta matrice n'a pas de vecteurs propres réels (sinon elle aurait une valeur propre réelle).

[Subsib]

Non, justement, je n'ai pas très bien compris. Et ce n'est pas un truc que j'invente, c'est un truc dans mon cours.
Je trouve comme vecteurs propres v1,2 = (2, +-i)
Voilà ce qui est dans mon cours :
v1,2 = [2, ±i] T = [2, 0] ± i[0, 1]

->



Eh bien justement, non, je ne comprends pas très bien comment on passe de
v1,2 = [2, ±i] à
T = [2, 0] ± i[0, 1]

[Robot]

(2,i)= (2,0)+i(0,1), ça ne fait aucun doute.
Ton cours ne dit sûrement pas que (2,0) est un vecteur propre : ça, c'est un truc que tu inventes !
Tu pourrais donner un peu le contexte dans lequel intervient ce calcul ? Là, c'est assez nébuleux. Y a-t-il une résolution de système différentiel dans l'histoire ?

[Subsib]

Absolument, oui, il y a un système d'équations différentielles.

Mon cours ne dit pas que c'est un vecteur propre, en effet.
La matrice du début est A de

Pourquoi est-ce une certitude que
(2,i)= (2,0)+i(0,1) ?

[Robot]

Pourquoi est-ce une certitude que
(2,i)= (2,0)+i(0,1) ?

Euh... Respire un bon coup, et reprends :

[Subsib]

ok.

J'arrive vraiment plus à rien, moi.


Merci de l'aide.