Variété

[zork]

Salut

Soit l'application . Soit
Montrer que X est une variété projective avec l'idéal

comment vous faites ce machin là? je sais faire variété affine mais là :hein:

merci

[Ben314]

Salut,
déjà, j'ai fortement l'impression que ta fonction, elle atterrie dans l'espace projectif de dimension 2 et pas dans celui de dimension 1 :
1) Paramétrer un truc avec le paramètre dans le même espace que celui dans lequel on est, c'est on ne peut plus louche...
2) (plus "terre à terre") : tu as deux coordonnées au départ et 3 à l'arrivé...


Ensuite, ça me semble pas bien sorcier :
Si alors et, réciproquement, si alors
- Soit et dans ce cas donc
- Soit et dans ce cas donc

[zork]

je viens de m'apercevoir que je ne comprend pas la question:
que veut dire "avec l'idéal I=(...)"?

[Ben314]

je viens de m'apercevoir que je ne comprend pas la question:
que veut dire "avec l'idéal I=(...)"?

Pour moi, c'est la même chose que pour les variétés affine, l'ensemble associé à l'idéal, c'est les points qui sont des zéros de tout les polynômes de l'idéal (modulo que les polynômes soient homogènes pour que ça signifie quelque chose en projectif...)

[zork]

donc il faut montrer X=V(I)?

[Ben314]

donc il faut montrer X=V(I)?

A mon avis, oui...

[zork]

dans la suite on me demande si cette application est birationnelle? je pense que oui
Mais quelle est la méthode pour trouver l'application réciproque? j'ai essayé de faire comment dans R mais ca ne fonctionne pas

[Ben314]

Si le "cette application" désigne l'application f de départ, déjà, elle ne va être, au mieux que "à moitié" birationnelle (je sais pas comment ça se dit "proprement") dans le sens qu'il existe peut-être g:CP2->CP1 telle que gof soit l'identité sur CP1, mais surement pas le contraire vu que f n'est pas surjective (les espaces de départ et d'arrivé ne sont pas les mêmes).

Et même là, je ne pense pas que ça marche vu que pour qu'une application d'un espace projectif dans un autre soit cohérente, il faut évidement qu'elle soit homogène sur les coordonnées (vu qu'elle doit envoyer une droite vectorielle sur une droite vectorielle), mais il faut aussi que seul le vecteur nul soit envoyé sur le vecteur nul.
Donc les candidats "triviaux" qui viennent à l'esprit : g([x,y,z])=[x,y] (ou bien [y,z]) ne marchent pas, et j'ai bien l'impression qu'il n'y a absolument rien qui marche de CP3 dans CP2 (déjà, il n'y a clairement rien de linéaire...)

[Doraki]

Ils demandent pas une application de P2(C) dans P1(C), mais de X dans P1(C)
Et là l'application [x:y:z] -> [x:y] = [y:z] (sur X privé de [0:0:1] et [1:0:0], [x:y] = [xy:y²] = [xy:xz] = [y:z]) m'a l'air de bien marcher : chaque version est bien définie sur X privé de 1 point. Tu colles les deux versions et c'est bon.

[Ben314]

Ils demandent pas une application de P2(C) dans P1(C), mais de X dans P1(C)
Et là l'application [x:y:z] -> [x:y] = [y:z] (sur X privé de [0:0:1] et [1:0:0], [x:y] = [xy:y²] = [xy:xz] = [y:z]) m'a l'air de bien marcher : chaque version est bien définie sur X privé de 1 point. Tu colles les deux versions et c'est bon.

Oui, mais tu est sûr qu'une telle application "recollée" a encore le droit de porter le nom de "rationnelle" ?
(c'est une "vrai" question : je ne connais pas la réponse...)

[Doraki]

Bon j'ai vérifié sur wikipedia et pour une équivalence birationnelle il faut 2 fonctions rationelles X --> Y et Y --> X qui soient définies sur des ouverts de X et de Y. Donc là t'as même pas besoin de recoller les fonctions pour avoir une équivalence birationelle.

[Ben314]

Bon j'ai vérifié sur wikipedia et pour une équivalence birationnelle il faut 2 fonctions rationelles X --> Y et Y --> X qui soient définies sur des ouverts de X et de Y. Donc là t'as même pas besoin de recoller les fonctions pour avoir une équivalence birationelle.

ça roule, merçi.