Définition d'une sous-variété par submersion

[goupil59]

Bonjour,

Nous avons vu en cours la définition suivante d'une sous-variété :

Un sous-ensemble est une sous-variété si voisinage ouvert de x, difféomorphisme tels que
m est la dimension de M et est une carte au point x.

Ensuite, nous avons énoncé le théorème suivant :
Soit une application et une valeur régulière (i.e. f est une submersion en tout point de ).
Alors, est une sous-variété de dimension n-m de

Pour prouver ce théorème, on part du résultat suivant (conséquence du théorème du rang constant) :
Pour , il existe un voisinage de x et un difféo tel que

Et après on conclut par "on vérifie que est une carte au point x, avec . " C'est peut être tout bête mais j'ai beau retourner ça dans tous les sens, ça ne me saute pas aux yeux. J'ai cherché des preuves sur internet mais aucune preuve directe de cette implication dans les théorèmes qui donnent les équivalences entre les différentes définitions.

Quelqu'un aurait-il un argument simple qui permettrait de conclure ?

Merci d'avance

[Ben314]

Ben ça "saute pas aux yeux" vu que... c'est faux.

Si tout ce que tu demande à (en plus d'être un difféo) c'est que, pour tout , on ait alors, ça signifie exactement que, pour tout , les premières coordonnées de c'est donc aucune info. sur les dernières coordonnées de .

Et c'est évidement insuffisant pour démonter que .

Si ça t'amuse, essaye avec l'exemple, d'une bête fonction linéaire de f:R^4->R^2 : regarde quels sont les (linéaires) possibles tel que et vérifie que seul certains (rares) d'entre eux sont tels que .

[goupil59]

Ben ça "saute pas aux yeux" vu que... c'est faux.

Ah bah je pouvais chercher longtemps alors...

Quand je regarde sur internet d'autres cours sur les sous-variétés, la définition par submersion est donnée sous la forme suivante :

Si voisinage ouvert de x et submersion en x tel que , alors, M est une sous-variété de dimension n-m.

J'imagine que c'est équivalent à ce qu'on a vu en définissant M directement comme image réciproque d'une valeur régulière (vu que, si j'ai bien compris, être une sous-variété est une propriété locale), mais je ne vois pas trop comment le justifier proprement. Le seul truc que je vois direct, c'est qu'on peut en effet se limiter au cas p=0, quitte à poser g(x)=f(x)-p (les différentielles seront égales, donc le caractère "submersif" sera préservé).

D'autre part, je n'ai pas trouvé de preuve "directe" de cette implication (en utilisant la définition donnée dans le premier post). Cette propriété apparaît souvent dans une "liste" de définitions équivalentes et le sens "(submersion) => (définition)" n'y est jamais prouvé directement...

Du coup j'ai essayé de prouver ça moi-même, voici ce que ça donne :

Par le théorème du rang constant, il existe voisinage ouvert de x et difféo tel que
Montrons (par double inclusion) que

1) Soit

D'autre part, comme , on a
Donc, les m premières coordonnées de y sont nulles et .
Par ailleurs,
Donc,

2) Soit
Il existe tel que
On a donc car .
Donc,
i.e.
Donc,

Ca te semble correct ou pas ?
Et, si oui, comment "recoller" ça avec la formulation vue en cours ?

[Ben314]

Donc, les m premières coordonnées de y sont nulles et .

Là, c'est plutôt mais ça n'a pas grande importaince (on peut toujours composer par une application linéaire qui permute les éléments de la base canonique).

On a donc car .

Par contre ça, je vois pas trop d'où ça sort...

[goupil59]

On a donc car .

Par contre ça, je vois pas trop d'où ça sort...

Oui c'est vrai que j'ai sauté une étape
C'était clair sur ma feuille mais j'ai encore un peu de mal à réfléchir en écrivant du LaTeX
Bah en gros car (par définition de et ).
Or, les m premières coordonnées de y sont nulles car (enfin tel que je l'avais écrit dans l'énoncé mais, comme tu l'as écrit, on peut permuter les coordonnées).

C'est correct ou pas ? (Et sinon, comment ferais-tu pour montrer l'inclusion dans ce sens ?).

Et une fois qu'on a établi ce résultat, comment on en déduit le résultat suivant (que je cherchais à montrer au départ, vu que c'est comme ça qu'on l'a énoncé en cours) :
Soit une application et une valeur régulière (i.e. f est une submersion en tout point de ).
Alors, est une sous-variété de dimension n-m de

Merci d'avance !

[Ben314]

Oui, ce coup ci, ça me semble correct.

Et concernant l'autre question, c'est de nouveau le théorème d'inversion locale qu'il faut utiliser où plus précisément, le je sais-plus-combien-ième point du corollaire dont on a parlé précédemment (celui qui justement parle du cas des submersions).
Sauf erreur, c'est plus simple dans ce cas là vu qu'au départ, tu as déjà une fonction qui va "dans le bon sens" par rapport à ta définition.

[goupil59]

Oui, ce coup ci, ça me semble correct.

Ok, merci !

Et concernant l'autre question, c'est de nouveau le théorème d'inversion locale qu'il faut utiliser où plus précisément, le je sais-plus-combien-ième point du corollaire dont on a parlé précédemment (celui qui justement parle du cas des submersions).
Sauf erreur, c'est plus simple dans ce cas là vu qu'au départ, tu as déjà une fonction qui va "dans le bon sens" par rapport à ta définition.

Si j'applique ce corollaire, ça me donne :
Pour , il existe un voisinage de x et un difféo tel que (en gros comme le début de la preuve que j'avais écrit dans le tout premier post).
Sauf que... pour le bien (i.e. pour pouvoir appliquer le résultat montré précédemment), il faudrait que . Mais ça, ça m'étonnerait que ce soit vrai...
Et comme tu l'as écrit suite à mon premier post, n'est pas (forcément) une carte au point x.
Du coup, je ne vois pas trop comment conclure...

[Ben314]

Pour , il existe un voisinage de x et un difféo tel que

Avec ça, si tu prend un quelconque, et que tu pose , tu as :

Donc et, à une translation prés et de nouveau à l'ordre des facteur prés, tu as bien ton résultat.