Variable aléatoire positive dont l'espérance tend vers 0

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acteon
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variable aléatoire positive dont l'espérance tend vers 0

par acteon » 06 Mai 2021, 09:58

Bonjour,
j'ai un exercice de prépa (donc normalement à faire sans utiliser les notions de convergences de variable aléatoire) dans lequel je dois montrer à la dernière question que P(lim Tn = 0)=1
Tn est une variable positive (voir plus bas) telle que E(Tn) tend vers 0 et je me dis que ça doit être suffisant pour conclure mais je n'y arrive pas.
un peu plus de détails, Tn est défini comme (X1+...+Xn)/n avec Xi discrètes, positives, d'espérance finie avec E(Xn) equivalent à 1/n^a avec a>0, ce qui permet dans l'avant dernière question notamment, de montrer que E(Tn) tend vers 0.
J'ai essayé de repartir de la définition de E(Tn) mais déjà Tn , si elle est discrète, a ses valeurs qui dépendent de n, de plus que je reparte de l'espérance de Tn ou de l'inégalité de Markov je considère toujours des expressions de la forme P(Tn=x) et non pas P(Tn tend vers...)
Quelqu'un a-t-il une idée SVP?
Merci et bonne journée!



alanbry75
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Re: variable aléatoire positive dont l'espérance tend vers 0

par alanbry75 » 06 Mai 2021, 10:23

As-tu essayé de calculer la probabilité de l'évènement
?

alanbry75
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Re: variable aléatoire positive dont l'espérance tend vers 0

par alanbry75 » 06 Mai 2021, 10:37

Peut-être plus simple, essaie de montrer que la probabilité de

est nulle. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout k, la proba de

est nulle. Et donc, s'il y a bien indépendance des Tn, il faut majorer les proba de par une fonction Cn et dont la décroissance est suffisamment rapide pour que la série tende vite vers 0.

acteon
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Re: variable aléatoire positive dont l'espérance tend vers 0

par acteon » 06 Mai 2021, 10:42

c'est gros! mais je m'y attèle. Des histoires de continuité croissante/décroissante j'imagine. merci

acteon
Membre Naturel
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Re: variable aléatoire positive dont l'espérance tend vers 0

par acteon » 06 Mai 2021, 10:43

Je viens de voir ton deuxième message en revanche, attention vu comme elles sont définies les Tn ne sont pas indépendantes

 

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