Valeurs propres

[ericsteph]

salut,

j'ai vu sur un exo, une certaine matrice symetrique d'ordre n,

le rang de M - I est de 2 alors 1 est une valeur propre d'ordre n- 2;

j'ai aps compris cette déduction!!!

après ca, il disent qu'ils reste deux valeurs propres a1, a2

il disent que la somme des valeurs propres, = tr(M), oui mais bon, la somme des elements diagonaux dans une matrice donne la trace de M, qu'est-ce qui prouve que la trace de la matrice (diagonale) selon la nouvelle base, est la meme trace que la matrice d'origine?!

et aussi i lya marqué a1*a2=det(M) j'ia pas compris ca! [meme question le determinant de la matrice selon la nouvelle base est egal a ca, mais pourquoi on peut carrément le deduire de M directement sachant que M selon la base d'origine n'est pas diagonale ou trigonale

merci!

[Monsieur23]

Bonjour.

Pour ta première question, utilise la formule du rang.

Ensuite, la trace et le déterminant sont indépendants de la base choisie.

[Antho07]

La trace et le determinant sont invariant par changement de base.

On rang(M-I)=2.

Donc 1 est valeur propre.

Ensuite la dimension de l'espace propre associé à une valeur propre k est par definition la dimension de ker (M-kI).

Or ici on a rg(M-I)=2 par le theoreme du rang on en deduit que la dimension de ker(M-I)=n-2.

Ensuite il faut que la somme des dimensions des espaces propres valent n pour que la matrice soit diagonalisable.

On a trouvé un espace de dimension n-2.
Ils restent alors au plus 2 valeurs propres a trouver.
Si une de ces valeurs propres vaut encore 1, on aura perdu la matrice sera pas diagonalisable (la multiplicite algebrique sera strictement superieur à la multiplicite geometrique)

On note donc a1 et a2 les deux valeurs propres restantes à trouver.

Or maintenant on sait que

Tr(M)=somme valeur propre
Det(M)=Produit valeur propre=1*1*1*....*1*a1*a2

Tu veux les preuves de l'invariance du determinant et de la trace par changement de base?

[ericsteph]

Re merci pour vos reponses, mais un doute persiste concernant par exemple, det(M)

D= Pinv * M * P

en sachant que det(AB)= det(A) + det (B)

donc det(D)= det(Pinv M) + det (P)= det(Pinv) + det(P) + det(M)

= det(Pinv P) + det (M)= det(I) + det(M) = 1+ det(M)

det(D)= produit des lamda i = 1 + det(M) :cry: :cry: :cry:

[Antho07]

en sachant que det(AB)= det(A) + det (B)

On a

[Antho07]

Pour la demonstration du fait que la trace est invariante par changement de base il est bon de rappeler la propriété suivante.

Si A et B sont deux matrices carrées.

Alors tr(AB)=tr(BA)

[ericsteph]

ah desolé, je voyais bien que quelque chose clochait!! :doh: :marteau:

merci beaucoup, anthon, maintenant j'y vois plus clair!!! :ptdr:

[Antho07]

Je demontre la propriete que j'ai ennonce sur la trace (tr(AB)=tr(BA))
si toute fois elle t'interesse.

Alors le coefficient ligne i colonne i de la matrice AB vaut



Ainsi,





car les variable i et k sont muettes.


les aij sont les coeffs de A, les bij les coeffs de B bien évidemment