Valeurs propres

[bentaarito]

bonsoir,

Soit A est une matrice irréductible et une valeur propre de A appartenant à la frontière de la réunion des disques d'Hadamard, définis par

Il faut que je montre que appartient à la frontière de chacun de ces disques
( J'ai montré juste avant qu'elle appartient à leur réunion )
Une piste ??

[bentaarito]

up up :hum: :hum:

[Doraki]

tu regardes ta preuve dans la question d'avant et tu regardes ce qui se passe dans le cas d'une égalité dans tes inégalités triangulaires ?

[bentaarito]

Je vois pas trop :mur:

dois-je me servir du fait que " A est réductible ssi on peut trouver une partition (I,J) de {1,...,n}
telle que pour tout (i,j) de IxJ on a =0" ??

[Doraki]

Euh je pense pas. J'vois pas tellement à quoi sert l'irréductibilité pour le moment.

Tu peux montrer ta preuve que si ;) est une valeur propre de A alors ;) est dans l'un des disques de Hadamard ?

[bentaarito]

[bentaarito]

dire qu'une vp lambda est dans la frontière de la réunion des disque
implique qu'on peut trouver un indice r pour lequel |lambda-a_rr| =somme(...)
donc je dois montrer que ça reste vrai pour n'importe quel i de {1,...n}
Je suis sur que l’irréductibilité de A va servir car la question est de type " mq si A est irréductible et que..."
A est irréductible implique que pour n'importe quel partition de {1,...n} il existe un a_ij=0
mais je vois pas la suite :hum:

[Doraki]

ok donc je parlais des inégalités dans

|(;)-a_rr) xr| = |Somme pour i<>r de a_ri xi| <= Somme pour i <> r de |a_ri| |xi| <= Rr |xr|,
donc ;) est dans D(a_rr, Rr)

Si ;) est à la frontière de la réunion des disques, il n'est donc pas dans l'intérieur d'un des disques,
donc en particulier comme il est dans ce disque D(a_rr, Rr), il n'est pas dans son intérieur, donc il est dans la frontière de D(a_rr, Rr).

Donc si |;)-a_rr| = Rr, t'en déduis quoi sur cette suite d'inégalités ?

[bentaarito]

je dois montrer que pour tout i, |;)-a_ii| = Ri
qu'appelles -tu "suite d'inégalités"??

[Doraki]

Tu as montré A <= B <= C, et ensuite tu supposes A = C.

Peux-tu montrer que A = B et B = C ?

[bentaarito]

[quote="Doraki"]Tu as montré A ( x=z ==> x=y=z )
mais ça sert à quoi tout ça??

[Doraki]

l'inégalité triangulaire dit que si t'as 2 nombres complexes a et b,
alors |a+b| <= |a|+|b|.
Et il y a égalité si et seulement si a et b ont même argument (en disant que 0 a le même argument que tout le monde, au besoin).

Dans ta preuve tu as utilisé l'inégalité triangulaire à un moment, donc si tu supposes qu'il y a égalité, tu en déduis automatiquement des trucs.

De même, tu as peut-être utilisé des trucs comme :
Si a <= b et c <= d, alors a+c <= b+d ; et il y a égalité si et seulement si a=b et c=d.
Ou bien :
Si a <= b et 0 <= c, alors ac <= bc ; et il y a égalité si et seulement si a=b ou c=0.

Si tu montres que un truc est plus petit qu'un autre,
et qu'ensuite tu veux étudier les cas d'égalité, ben t'as AUTOMATIQUEMENT tout un tas de trucs que tu peux déduire qui viennent directement de ta preuve de l'inégalité. Il n'y a même pas à réfléchir.

Soit r tel que |xr| soit maximal (en particulier il est non nul).
On vient de montrer que alors ;) est dans le disque de Hadamard D(a_rr, Rr).
Comme il est pas dans son intérieur, il est à sa frontière, et donc |;) - a_rr| = Rr = somme des |a_ri|

A partir de là tu lis ta preuve de ;) est dans le disque de Hadamard D(a_rr, Rr) à l'envers en regardant ce que tu peux déduire du fait que tu as une égalité :

comme |xr| est non nul, ça implique automatiquement que |(;)-a_rr)xr| = somme des |a_ri||xr|
Mais (;)-a_rr) xr = somme des a_ri xi, donc |somme des a_ri xi| = somme des |a_ri||xr|.

Mais |somme des a_ri xi| <= somme des |a_ri xi| <= somme des |a_ri||xr|,
donc on obtient automatiquement |somme des a_ri xi| = somme des |a_ri xi| et somme des |a_ri xi| = somme des |a_ri||xr|.

Mais comme |a_ri xi| <= |a_ri| |xr|, somme des |a_ri xi| = somme des |a_ri||xr| implique automatiquement que pour tout i<>r, |a_ri| |xi| = |a_ri| |xr|.

Mais comme |xi| <= |xr| et |a_ri| >= 0, |a_ri| |xi| = |a_ri| |xr| implique automatiquement que |a_ri| = 0 ou |xi| = |xr|.

Donc pour tous les couples (i,r) avec i<>r,
si |xr| est maximal et si a_ri est non nul, alors |xi| aussi est maximal.

Donc maintenant il reste plus qu'à expliquer pourquoi si A est irréductible alors tous les |xi| sont maximaux.