Valeurs propres d'un poynôme

[metaflop]

Bonjour, j'ai des difficultés avec une des questions d'un DM que je dois effectuer avant de rentrer en Khagne BL.

Voici l'énoncé

E=R[X], l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et pour n appartient N*
Rn[X] le sous espace vectoriel de E des polynômes de degré inférieur ou égal à n,
F l'application qui à tout polynôme P de E associe le polynôme

F(P) = (X^2 - 1)P" + (2X + 1)P'

où P' et P" désignent les polynômes dérivés d'ordre 1 et 2.

Dans la question trois, je démontre que la restriction de F à Rn[X] définit un endormorphisme de Rn[X] (on le note Fn dans la suite de l'exercice).

On me demande dans la question 4 de déterminer les valeurs propres de Fn. Puis on me demande de déduire si l'endomorphisme F est diagonalisable.

Je n'ai aucune idée de comment résoudre la question 4. Quelqu'un peut il m'aider ?

[lionel52]

Tu vois que f(X^k) = k(k+1)X^k + a.X^(k-1) + b.X^(k-2)
Donc quand tu écris la matrice de f dans la base (1,X,....X^n) tu vois que la matrice est triangulaire supérieure ! Donc tu peux directement lire les valeurs propres sur la diagonale de la matrice (les k(k+1) pour k = 0 jusqu'à n)

[Robot]

Une petite remarque à propos du titre : un polynôme n'a pas de valeur propre. Les valeurs propres, c'est pour des endomorphismes (ou les matrices qui les représentent).

[metaflop]

Tu vois que f(X^k) = k(k+1)X^k + a.X^(k-1) + b.X^(k-2)
Donc quand tu écris la matrice de f dans la base (1,X,....X^n) tu vois que la matrice est triangulaire supérieure ! Donc tu peux directement lire les valeurs propres sur la diagonale de la matrice (les k(k+1) pour k = 0 jusqu'à n)

Merci ça m'éclaircit déja les choses, mais je ne comprend comment tu as obtenu f(X^k) = k(k+1)X^k + a.X^(k-1) + b.X^(k-2)

[Robot]

Merci ça m'éclaircit déja les choses, mais je ne comprend comment tu as obtenu f(X^k) = k(k+1)X^k + a.X^(k-1) + b.X^(k-2)

Tout bêtement, en appliquant la formule qui définit à . Les constantes et restent à préciser.