Valeurs propres/diagonalisation

[Dante0]

Bonjour,

J'ai un soucis avec cet exo :

Soit M = B-I ou B =
-2 1 1
2 0 -1
2 -2 -1

1) déterminer M (pas de soucis)
2) déduire une valeur propre (pas de pb non plus la valeur propre étant -1)
3)calculer det(M) : je trouve -2 mais ca pose problème avec la question suivante
4) en déduire une 2e valeur propre de M : la si le dét de M était de 0 j'aurais pu dire que la valeur propre est 0 mais comme c'est pas le cas ... J'ai appliqué le schémas de sarrus et j'ai trouvé aucune erreur dans mes calculs.
5) calculer la trace de M : pas de soucis tr(M) = -6 en déduire la 3e valeur propre de M (c'est -5)
6) La matrice M est-elle diagonalisable ? Le cas échéant donner une matrice diagonale D et une matrice diagonale P tel que
La réponse va dépendre de la question 3)...

Merci !

[Nightmare]

Ton calcul du déterminant est faux, det(M) vaut bien 0 (les deux dernières colonnes sont identiques)

[Dante0]

Ton calcul du déterminant est faux, det(M) vaut bien 0 (les deux dernières colonnes sont identiques)

Donc la matrice n'est pas diagonalisable et on donc pas besoin de répondre à la dernière question ?
Edit : on sait que lorsque le determinant est égal à 0 la matrice n'es pas diagonalisable mais on sait aussi que lorsqu'elle a 3 valeurs propres distinctes ce qui est le cas ici elle est diagonalisable, qu'est-ce qui prime ici ?

[Nightmare]

Euh pourquoi un déterminant nul impliquerait une non diagonalisabilité?

N'importe quelle matrice diagonale avec un 0 sur la diagonale est de déterminant nul et est pourtant diagonalisable!

[Dante0]

Euh pourquoi un déterminant nul impliquerait une non diagonalisabilité?

N'importe quelle matrice diagonale avec un 0 sur la diagonale est de déterminant nul et est pourtant diagonalisable!

Si le déterminant est nul la matrice n'est pas inversible, donc on ne peut pas écrire

[Nightmare]

Je ne vois pas le rapport entre la non inversibilité et l'écriture M=PDP-1

la matrice nulle s'écrit bien sous la forme PDP-1 où D est la matrice nulle, sans pour autant qu'elle soit inversible.

Attention à ne pas confondre inversibilité et diagonalisabilité.

[Dante0]

Je ne vois pas le rapport entre la non inversibilité et l'écriture M=PDP-1

la matrice nulle s'écrit bien sous la forme PDP-1 où D est la matrice nulle, sans pour autant qu'elle soit inversible.

Attention à ne pas confondre inversibilité et diagonalisabilité.

Ca veut dire quoi diagonaliser une matrice ? Je pensais que c'etait pouvoir l'écrire sous la forme

Comme détQ 0, la matrice Q est inversible. De , on peut donc déduire, en
postmultipliant les deux membres de cette équations par , l’inverse de Q :

ce qui donne :

[Nightmare]

Ca veut dire quoi diagonaliser une matrice ? Je pensais que c'etait pouvoir l'écrire sous la forme

Oui c'est bien ça, en précisant que D est diagonale.

Comme détQ 0, la matrice Q est inversible. De , on peut donc déduire, en
postmultipliant les deux membres de cette équations par , l’inverse de Q :

ce qui donne :

Ok, et alors? En quoi ces calculs disent quoi que ce soit sur l'inversibilité de A?

[Dante0]

Ok, et alors? En quoi ces calculs disent quoi que ce soit sur l'inversibilité de A?

Parce que ca n'aurait pas été possible avec un déterminant négatif si ? Pourquoi le précisent-ils sinon ?

Si je récapitule une matrice est diagonalisable si :
-La dimension du sous espace propre est égal à la multiplicité algébrique de la valeur propre qui lui est associée
-La matrice est symétrique
-Les valeurs propres sont distinctes

J'oublie quelque chose ?

[Dante0]

Petit up :)

[Nightmare]

Parce que ca n'aurait pas été possible avec un déterminant négatif si ? Pourquoi le précisent-ils sinon ?

Je ne comprends pas du tout ce que tu entends par là. Je ne vois pas le rapprochement que tu fais entre le déterminant et la diagonalisabilité. Encore une fois, regarde les matrices diagonales, qui sont les matrices diagonalisables les plus simples.

Si je récapitule une matrice est diagonalisable si :
-La dimension du sous espace propre est égal à la multiplicité algébrique de la valeur propre qui lui est associée
-La matrice est symétrique
-Les valeurs propres sont distinctes

J'oublie quelque chose ?

Attention, matrice symétrique réelle, ce n'est pas vrai pour une matrice symétrique complexe par exemple.

On a beaucoup de caractérisation de la diagonalisabilité, par exemple à l'aide des polynômes annulateurs comme le caractéristique et le minimal.

[Dante0]

Ok du coup je dois chercher matrice P des vecteurs propres puis déterminer son inverse ?

[Dante0]

Ok du coup je dois chercher matrice P des vecteurs propres puis déterminer son inverse ?

P étant la matrice des vecteurs propres, pour trouver son inverse j'applique la formule :
? Ou C' est la transposée de la matrice des cofacteurs de P.

[Nightmare]

Cette formule n'a rarement d'intérêt pratique puisqu'elle est très gourmande en calcul.

[Dante0]

Cette formule n'a rarement d'intérêt pratique puisqu'elle est très gourmande en calcul.

Pourtant je connais pas d'autre méthode pour trouver l'inverse d'une matrice d'ordre 3...
Il me semble qu'il y'a une formule pour les matrice d'ordre 2 mais au dessus je vois pas.

[Billball]

Pourtant je connais pas d'autre méthode pour trouver l'inverse d'une matrice d'ordre 3...
Il me semble qu'il y'a une formule pour les matrice d'ordre 2 mais au dessus je vois pas.

c'est pas dur, je sais pas si c'est la méthode que tu dis, je connais pas le nom, mais par exemple si tu veux l'élement en 1.1 dans une matrice 3.3 , tu barres la 1ére ligne, 1ére colonne, et tu calcules le déterminant des 4 élements restants, , t'auras l'élément 1.1 de ta matrice inverse (a diviser par le dét, bien évidemment)

[Dante0]

c'est pas dur, je sais pas si c'est la méthode que tu dis, je connais pas le nom, mais par exemple si tu veux l'élement en 1.1 dans une matrice 3.3 , tu barres la 1ére ligne, 1ére colonne, et tu calcules le déterminant des 4 élements restants, , t'auras l'élément 1.1 de ta matrice inverse (a diviser par le dét, bien évidemment)

C'est presque la méthode que j'ai décrit, la seule différence c'est qu'il faut chercher la transposée de la matrice constituée de ces 4 éléments restants que tu décris (qu'on appelle cofacteurs) puis diviser chaque élément de cette matrice par le déterminant.
Y'a pas mal de calculs donc s'ils existe une autre méthode plus rapide/plus simple...

[Anonyme]

@Dante0

Si tu sais qu'une matrice est inversible : il y a beaucoup de méthodes différentes pour calculer la matrice inverse

ET une des méthodes est d'utiliser sa calculatrice : qui est un outil très précieux et qui peut donner beaucoup d'informations / d'aides à un élève lors d'une épreuve de maths d'un concours ou d'un exam quelconque...

Juste un exemple pour que tu comprennes : pour inverser ta matrice il suffit de cliquer sur
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+{{4%2C2%2C-2}%2C{2%2C1%2C-1}%2C{-2%2C-1%2C1}}[/url]

[Dante0]

On a pas le droit à la calculatrice bien sur ! ^^

[Anonyme]

On a pas le droit à la calculatrice bien sur ! ^^

Dans quel exam / diplôme ??