Valeurs intermédiaires (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

j'aurais besoin d'un petit coup de main sur un exo

Soit f une fonction de R dans R continue, qui admette un maximum local
et un minimum local. Montrer qu'il existe a != b tel que f((a+b)/2) =
(f(a) + f(b))/2.

j'ai pas mal cherché, mais je n'arrive pas vraiment à progresser
pourriez vous m'aider un peu ? (au début j'avais pensé à des questions
de convexité/concavité de la fonction mais je ne suis pas sûr d'être
dans le vrai avec ca)

merci d'avance

--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:

> Bonjour,
>
> j'aurais besoin d'un petit coup de main sur un exo
>
> Soit f une fonction de R dans R continue, qui admette un maximum local
> et un minimum local. Montrer qu'il existe a != b tel que f((a+b)/2) =
> (f(a) + f(b))/2.

Ca donne envie d'etudier une fonction du genre

x -> 2f((x+y)/2) - f(x) - f(y)

pour un bon y, mais comme je n'y ai pas plus reflechi que cela, c'est sans
garantie.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

>
> Soit f une fonction de R dans R continue, qui admette un maximum local et
> un minimum local. Montrer qu'il existe a != b tel que f((a+b)/2) = (f(a) +
> f(b))/2.
>
Appelons A Le point (a,f(a)), B le point (b,f(b)) et M le milieu de AB

Intuitivement :
Pour A et B proches et de part et d'autre du maximum local, M est en
dessous de la courbe (concavité locale).
Pour A et B proches et de part et d'autre du minimum local, M est au dessus
de la courbe (convexité locale).
Donc, en allant de l'une de ces configurations à l'autre, M passe de sous à
au dessus de la courbe, d'où le résultat.

Il reste à formaliser cette intuition :
1) Montrer qu'il existe un h>0, un a1 proche du minimum local et un a2
proche du maximum local tels que :
f(a1) + f(a1+h) > 2 f(a1+h/2)
f(a2) + f(a2+h) < 2 f(a2+h/2)

2) conclure en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la
fonction continue f(x)+f(x+h)-2f(x+h/2)

[Anonyme]

Patrick Coilland a écrit:
>[color=green]
>>
>> Soit f une fonction de R dans R continue, qui admette un maximum local
>> et un minimum local. Montrer qu'il existe a != b tel que f((a+b)/2) =
>> (f(a) + f(b))/2.
>>
> Appelons A Le point (a,f(a)), B le point (b,f(b)) et M le milieu de AB
>
> Intuitivement :
> Pour A et B proches et de part et d'autre du maximum local, M est en
> dessous de la courbe (concavité locale).
> Pour A et B proches et de part et d'autre du minimum local, M est au
> dessus de la courbe (convexité locale).
> Donc, en allant de l'une de ces configurations à l'autre, M passe de
> sous à au dessus de la courbe, d'où le résultat.
>
> Il reste à formaliser cette intuition :
> 1) Montrer qu'il existe un h>0, un a1 proche du minimum local et un a2
> proche du maximum local tels que :
> f(a1) + f(a1+h) > 2 f(a1+h/2)
> f(a2) + f(a2+h)
> 2) conclure en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la
> fonction continue f(x)+f(x+h)-2f(x+h/2)
>[/color]

Merci beaucoup pour cette réponse. J'étais pas trop loin mais je
n'arrivais pas à formaliser, surtout en fixant l'écart entre a et b pour
étudier la focntion.

--
albert