Théorème des valeurs intermédiaires

[cocoflmt]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice basé sur le TVI:

Soit IR continue. (I un intervalle de R)
1.Dans cette question, on suppose que prend un nombre fini de valeurs. Par l'absurde, prouver que est constante.

J'ai essayé donc de le montrer avec n'est pas constante et en appliquant le TVI, mais étant donné le théorème, j'ai réussir à dire :
il existe (a,b) : a<b tels que : f(a)f(b)
Soit z R compris entre a et b
D'après le TVI : il existe x R tq f(x)=z

Mais je crois que mon raisonnement ne sert à rien dans ma recherche... Je voulais également essayer de trouver un lien, en disant que le minf=maxf, et du coup prouver qu'elle est constante mais je n'y arrive pas.

2. On suppose maintenant que est injective. On souhaite montrer que strictement monotone. On raisonne par l'absurde en supposant que n'est pas strictement monotone.

a) justifier qu'il existe a<b<c trois points de I tels que l'on ait:
< et f> ou > et <

b) À l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, obtenir une contradiction. (Faire un dessin)



Pour la a), je pensais essayer d'utiliser le fait q'une fonction injective répond à la règle:
f(x)=f(x') -> x=x' mais je ne sais pas comment l'appliquer à ce cas de figure
Merci de vos futures réponses

[mathelot]

Bonsoir,
question 1:

Soient À, B deux réels avec A<B. Montrons que l'intervalle [À, B] contient une infinité de points:
Supposons que l'intervalle contient N points. On peut supposer que N>1, quitte à rajouter une extrémité de l'intervalle à la famille de points. On les numérote en ordre croissant. A<=x1<x2<...xN<=B. On peut rajouter le point (x1+x2) /2 donc si l'intervalle [À, B] contient N points, il en contient N+1. Donc [À, B] contient une infinité de points.

[cocoflmt]

Bonsoir,
question 1:

Soient À, B deux réels avec A<B. Montrons que l'intervalle [À, B] contient une infinité de points:
Supposons que l'intervalle contient N points. On peut supposer que N>1, quitte à rajouter une extrémité de l'intervalle à la famille de points. On les numérote en ordre croissant. A<=x1<x2<...xN<=B. On peut rajouter le point (x1+x2) /2 donc si l'intervalle [À, B] contient N points, il en contient N+1. Donc [À, B] contient une infinité de points.

Bonsoir,
merci de votre réponse!
J'ai déjà tenté quelque chose que voici:

Absurde: si f n'est pas constante:
alors il existe (a,b) tels que
Soit
D'après le tvi : il existe tel que

Comme il y a une infinité de entre et et que chacune de ces valeurs est dans et comme est un intervalle non réduit à un point. D'après le TVI, si
n'est pas constante on a donc une infinité de valeurs dans absurde.

Est-ce bon?

[mathelot]

Bonsoir,
merci de votre réponse!
J'ai déjà tenté quelque chose que voici:

Absurde:
Soit
D'après le tvi : il existe tel que

Oui, le résultat est correct.

[cocoflmt]

Bonsoir,
merci de votre réponse!
J'ai déjà tenté quelque chose que voici:

Absurde:
Soit
D'après le tvi : il existe tel que

Oui, le résultat est correct.

Merci beaucoup!
Auriez-vous juste une piste pour la seconde partie...?

[mathelot]

Pour la question 2,trouver deux points u et v tels que
a<u<b et b<v<c tels que f(u)=f(v)

[cocoflmt]

Pour la question 2,trouver deux points u et v tels que
a<u<b et b<v<c tels que f(u)=f(v)

Super!! Merci