[Math sup] Théorème des valeurs intermédiaires

[djin_djin]

Bonjour,
Je suis en maths sup (1ere année) et je n'arrive pas à accrocher la moyenne en maths. A chaque DS j'ai l'impression d'avoir des exercices où l'on ne s'est jamais entrainé en cours.
C'est embêtant...
Mardi j'ai un DS et il y aura un exercice sur le TVI. Les exercices qu'on a fait en TD sont plutôt facile, mais je redoute celui de mardi prochain.
C'est pourquoi je m'en remets à vous : auriez vous sous la main un exercice type, bien dur, avec beaucoup de pièges qui serait susceptible de tomber à mon DS, ainsi que sa correction (ou si correction il n'y a pas, un petit message d'aide sur chaque question...).
Merci !

[ThSQ]

C'est pas si affolant de pas avoir la moyenne en sup ;)


Un exo, pas vraiment dur mais pas évident à rédiger proprement (eu en colle par mon voisin de tableau ...)

f : R -> R continue et ayant des limites finies identiques en +°° et -°°

MQ
1- f est bornée
2- f atteint sa borne sup ou sa borne inf (voire les deux)
3- (bonus) f est uniformément continue

[yamo]

Merci pour l'exo !

[SimonB]

Dans le même genre pour la rédaction, saurais-tu démontrer qu'une fonction f : R -> R continue qui tend vers quand x tend vers + et -admet une borne inférieure et l'atteint ?

[busard_des_roseaux]

C'est pas si affolant de pas avoir la moyenne en sup


Un exo, pas vraiment dur mais pas évident à rédiger proprement (eu en colle par mon voisin de tableau ...)

f : R -> R continue et ayant des limites finies en +°° et -°°

MQ
1- f est bornée
2- f atteint sa borne sup ou sa borne inf (voire les deux)
3- (bonus) f est uniformément continue

c'est quoi cette question 2 complètement fausse , ThSQ ? :zen: (je me suis bien marré...)

A mon avis, la question 3 est fausse aussi mais là c'est plus délicat :doh:

[ThSQ]

c'est quoi cette question 2 complètement fausse , ThSQ ? :zen: (je me suis bien marré...)

La même limite pardon....


(Heureux de t'avoir fait marré )

[busard_des_roseaux]

ThSQ,

j'ai l'impression que la question 3 est fausse aussi.
Pour la (2), arctan n'atteint ni son sup ni son inf sur

PS: je retire ce que j'ai écrit, l'énoncé ayant changé entretemps (et devient intéressant bien sûr).


j'en rajoute un exo sous forme de question:

est-il possible que f soit continue,avec des limites finies en et et pas uniformément continue sur R ?

[ThSQ]

j'ai l'impression que la question 3 est fausse aussi.

Un contrex ? (bon courage ...)

[tize]

ThSQ,

j'ai l'impression que la question 3 est fausse aussi.
Pour la (2), arctan n'atteint ni son sup ni son inf sur

La 3) me parait bonne...

[ThSQ]

La 3) me parait bonne...

Je l'ai eu en colle donc c'est préférable ... :++:

[klevia]

Non, je crois pas que la 3 soit fausse
soit l= lim f en +oo

pour tous il existe A>0 tq x>A => |f(x)-l|<

Fest continue sur [0,A+1] donc uniformement continue
et sur [A,+oo[ |f(x)-f(y)|<|f(x)-l|+|f(y)+l|< quelque soit xet y donc uniformement continue sur [A,+oo[
d'où f uniformement continue sur [0,+oo[
je vous laisse adapter sur

[busard_des_roseaux]

euh, je dois y aller là,

pour la (3) je pensai à un exemple du style
au voisinage de l'infini ????

[ThSQ]

Oui c'était vraiment pas bien dur.

L'exo suivant (un peu énervé le colleur) était plus 'stucieux :

f : R -> R tq l'image de [a;b] contient l'intervalle [f(a);f(b)] (ou [f(b);f(a)]), c'est à dire que f possède la propriété des valeurs intermédiaires.

1- une telle fonction est-elle forcément C° ? (mise en jambes...)
2- et si on ajoute fermé pour tout a ?

[klevia]

Pour la 1ère, il doit avoir un pb avec f(x)=sin(1/x) si x diffe de 0
et f(0)=0...pas C0
j'ai bon chef ?

[djin_djin]

C'est pas si affolant de pas avoir la moyenne en sup


Un exo, pas vraiment dur mais pas évident à rédiger proprement (eu en colle par mon voisin de tableau ...)

f : R -> R continue et ayant des limites finies identiques en +°° et -°°

MQ
1- f est bornée
2- f atteint sa borne sup ou sa borne inf (voire les deux)
3- (bonus) f est uniformément continue

Merci pour l'exercice, cependant, j'ai un peu du mal à rédiger...
Pour la question 1/ :
1-Soit I l'intervalle tel que I = {f(x), x€R)}
2-On sait que f continue donc lim f(x) x->x0 = f(xo)
3-On sait que lim f(x) x->inf = lim f(x) x->- inf = a

Grâce à 2 et 3, on peut dire que I est inclu dans un intervalle H borné.
Donc I est borné.

CCL : f bornée
Il existe c€R tq f(c) >= f(x) quelque soit x€R
Il existe d€R tq f(d) =inf = a), alors f atteint sa borne inf en un point.
Si la borne inf est a (lim f(x) x->-inf = a), alors f atteint sa borne sup en un point.
Si la borne sup et la borne inf sont différentes de a, alors f atteint ses deux bornes sup.

Pour la 3/, la démonstration de Klevia m'a l'air bien et je pense pas pouvoir mieux faire. Par contre j'aurais plutôt tendance à dire "Pour tout epsilon strictement supérieur à 0, il existe A€R tq x>A => |f(x)-l|< epsilon/2".
Et cette démonstration utilise bien le théorème de Heine ou je me trompe ?

[ThSQ]

Pour être franc je te suis pas trop mais je laisse les profs du forum (yos, tize, klevia (?), ...) donner leur avis.

[klevia]

Euh, non. Pas de théorème de heine en vue puisque à vrai dire, je ne le connais même pas. Pour la nuance au niveau du A, je ne me suis qu'occupée de la limite en + oo.

Pour le reste , je jetterai un coup d'oeil demain.

Pour ThSQ: oui, prof au collège et je tente l'agreg interne pour 1ère fois cette année: c'est pas gagné !!!

[busard_des_roseaux]

f : R -> R continue et ayant des limites finies identiques en et

MQ
3- (bonus) f est uniformément continue

Ce qui est étonnant (pourquoi j'hésitais) c'est que la propriété est vraie
(démontrée par klévia) bien que comme le montre

[ThSQ]

Ouais la C° uniforme est une propriété plus étrange qu'il n'y parait au premier abord !