[MPSI] Union

[Euler07]

Bonsoir

Je ne parviens pas facilement à comprendre la justification de ça :



Avec des exemples on comprend facilement qu'on prend la dernière intervalle qui est de plus en plus petit. La correction dit que 0 est un élément de cette intervalle, et que si x est un nombre réel non nul, dès que , le nombre x n'est pas dans l'intervalle.

Je ne comprends pas bien cette phrase

:livre:

[Nightmare]

Salut,

l'intersection, ce sont les éléments qui sont dans tous les ensembles.

Il s'agirait donc de trouver les réels qui sont dans tous les intervalles [-1/n ; 1/n] quel que soit n.

Ce que te dit la correction, c'est que si je me fixe un nombre réel non nul x, alors l'intervalle ne contient pas x. (j'ai simplement pris n = 1/|x| + 1 qui est un cas particulier d'entier n supérieur à 1/|x| )

Donc x n'est pas contenu dans tous les intervalles de la forme de [-1/n ; 1/n]

Formulé autrement : Quel que soit le réel x non nul, j'ai construit un intervalle de la forme [-1/n ; 1/n] qui ne le contenait pas, donc x ne peut pas être dans l'intersection.

Ainsi, l'intersection ne contient aucun réel non nul. Par contre, elle contient 0, de manière évidente. C'est donc finalement qu'elle vaut {0}.

[Euler07]

Salut,

l'intersection, ce sont les éléments qui sont dans tous les ensembles.

Il s'agirait donc de trouver les réels qui sont dans tous les intervalles [-1/n ; 1/n] quel que soit n.

Ce que te dit la correction, c'est que si je me fixe un nombre réel non nul x, alors l'intervalle ne contient pas x. (j'ai simplement pris n = 1/|x| + 1 qui est un cas particulier d'entier n supérieur à 1/|x| )

Donc x n'est pas contenu dans tous les intervalles de la forme de [-1/n ; 1/n]

Formulé autrement : Quel que soit le réel x non nul, j'ai construit un intervalle de la forme [-1/n ; 1/n] qui ne le contenait pas, donc x ne peut pas être dans l'intersection.

Ainsi, l'intersection ne contient aucun réel non nul. Par contre, elle contient 0, de manière évidente. C'est donc finalement qu'elle vaut {0}.

Merci de ton explication, mais cela marche seulement pour une condition ( n superieur à 1/|x|) ??
Apres réflexion je pense avoir compris. L'astuce c'est de trouver un intervalle où x n'y serait pas dedans tout simplement. Et cette intervalle peut être trouver si n est plus grand que 1/|x|, ok)

:livre:

[raito123]

Tu peux aussi voir les choses autrement ... enfin c'est la même chose mais vu sous un autre angle : soit x appartient à l'intersection alors pour tout n dans IN* tu as |x|<= 1/n et tu fais tendre n vers l infini tu obtiens x=0 !!

[Euler07]

Merci Raito123, je n'avais pas pensé à ça, ça parait simple comme raisonnement

:livre:

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:
: et , c'est à dire :
Par conséquent :

C'est à dire :
Inversement, il faut montrer que :

C'est à dire : :
C'est à dire : ( Par contraposée )
:
C'est à dire, il suffit de vérifier que :
:
Ce qui est facile à établir en remarquant que tel que . :happy3:

[Euler07]

Oui Barbu23, je me demandé comment trouver l'existence de cette condition :we:

:livre:

[barbu23]

Voici ce qu'il faut donc établir :
:

Démonstration :

Soit tel que

Si : , alors : tel que : , c'est à dire :
C'est à dire :

Si : , alors : tel que : , c'est à dire :
C'est à dire :

[Euler07]

Oui tout à fait :)

:livre:

[Doraki]

La propriété que pour tout réel x > 0 il existe un entier n tel que 1/n < x ;
ou plutôt (en regardant les inverses), que pour tout réel x > 0 il existe un entier n qui est plus grand que x, est appelée "R est archimédien".

Si dans ton cours tu as une construction explicite de R, tu peux essayer de le démontrer, mais sinon il faut prendre cette propriété comme un axiome de R.