Une étude de diagonalisabilité par blocs

[acteon]

Bonjour, on donne la matrice par bloc définie ainsi (In l'identité de taille n bien sûr) : B =
(A In) pour la première "ligne" et
(In 0) pour la deuxième (au passage je suis désolé mais je n'arrive pas à utiliser l'éditeur d'équation, pas de problème pour rentrer les formules mais quand je clique sur "insérer dans zone de texte" rien ne se passe et je perds tout le message.
Bref, les questions sont:
1) trouver le polynôme caractéristique de B en fonction de celui de A
2) montrer que si A est diagonalisable, B l'est aussi

pour 1) je trouve par deux méthodes différentes, que b(x)=x^n . a((x^2 -1)/x) avec b(x) le pol.car de B et a(x) celui de A. Je trouve pas ça top mais bon

pour 2) mes tentaives n'ont pas marché
- avec des polynômes annulateurs: B^k ne s'exprime pas super bien en fonction de A^k il me semble
- en essayant de créer des vecteurs propres de B à partir de ceux de A (par exemple si X est vecteur propre de A, regarder (X 0) , (0 X) ou (X X) pour B: rien ne marche
- essayer d'utiliser que A = P D P^(-1): il y a peut-être un calcul par blocs miracle à voir mais je ne le vois pas
- en essayant d'utiliser 1) mais d'une part je suis sceptique car le polynôme caractéristique ne donne pas de CNS de diagonalisabilité, d'autre part l'expression est pas top. on peut quand même exprimer les vp de B en fonction de celles de A mais bof (et expression laide)

Quelqu'un a une idée svp?
Merci!

[pascal16]

http://www.mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/Ma ... blocs.pdf+

je pense qu'en partant de l'exercice 2, c'est bon

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai pas regardé la proposition de pascal16. Mais j'ai un doute sur le polynôme caractéristique.
En effet d'après ton résultat 0 est v.p d'ordre n pour B. ceci indépendemment de A.
Mais si 0 n'est pas v.p de A, je ne trouve pas que 0 est v.p de B.
Pour moi c'est faux ce que tu as fait.

[acteon]

Bonjour, excusez moi j'avais oublié de préciser que l'expression était valable pour x non nul bien sûr.
En fait l'expression valable pour tout x est b(x)=det[(x^2-1)I_n - xA) , j'ai juste factorisé par x pour faire sortir a(x).
Cette expression n'est pas très jolie mais je pense juste car je l'ai eue par deux méthodes différentes: soit par le calcul qu'évoque pascal16, soit par opérations lignes et colonnes.

en fait c'est plutôt la question 2) qui me pose problème.

mais merci de vous être penchés sur la question

[Kolis]

Bonsoir !
La relation me semble correcte. Le terme constant dans provient de , en principe non nul donc 0 n'est pas valeur propre de

Pour les vecteurs propres de associés à tu cherches tel que
Et tu verras que doit être vecteur propre de associé à ???, .

[acteon]

merci oui ça va bien se finir je pense, d'ailleurs pour voir que 0 n'est pas valeur propre de B on peut calculer det B = det(-I_n) non nul donc ok.
Ensuite ok on trouve X=mu Y et Y vecteur propre de A associé à (mu - 1/mu) or l'équation mu-1/mu a deux solutions réelless. bilan à partir chaque vecteur U_i de la base (U_1, ...,U_n) de vecteurs propres de A on crée deux vecteurs, définis en colonne: [mu_i1 U_i , U_i] et [mu_i2 U_i, U_i] , à la fin on obtient une famille libre de 2n vecteurs propres de B. Ok à rédiger bien mais ça doit marcher.
Merci et désolé pour l'écriture mathématique, d'ailleurs si qqn peut m'expliquer comment remédier à ça...(quand je tape une formule dans l'éditeur d'équation tout se passe bien jusqu'à que je clique sur insérer, là rien ne se passe et je suis obligé de revenir en arrière et je perds mon message)

Merci en tout cas!

[aviateur]

Rebonjour, effectivement je n'avais pas bien vu le facteur après le x^n. Donc c'est bien cohérent avec le fait que 0 n'est pas valeur propre de B.

[Kolis]

Suite...
On peut aussi, en supposant proposer une matrice de passage rendant semblable à une diagonale.

Je passe les détails, car c'est laborieux !

En posant
on obtient , en posant ,

et un produit par blocs fournit


(pour les calculs, ne pas oublier que sont des matrices diagonales permutables)