Analyse numérique: Gauss-Seidel par blocs

[wah1138]

Bonjour,

J'ai un projet dans lequel je dois étudier la méthode de Gauss-Seidel par blocs, cependant il y a certaines choses qui m'échappent. Pour rappel voici la méthode élément par élément, la composante i à l'itération k+1 est donnée par:



D'après mes recherches, la méthode par blocs revient au même mais on remplace les a_ij par des matrices A_ij, les A_ii étant des matrices carrés. Seulement, comment déterminer la dimension des blocs (choix qui peut dépendre de la dimension paire ou impaire de la matrice) ? Car il y a plusieurs possibilités....de plus on se retrouve avec des blocs rectangulaires autour de la diagonale et je ne sais pas vraiment quoi en faire (d'après la formule on va se retrouver avec des opérations sur des matrics de tailles différentes, mais le tout doit être homogène à la dimension d'un vecteur x_i).

Aucun problème avec la méthode standard mai avec les blocs c'est un peu le bazar, donc si quelqu'un à des idées là-dessus je suis preneur, merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Concernant le "pourquoi" ça peut être mieux de couper en blocs et le "comment" on choisi les blocs, ça j'en sais rien : le seul truc évident, c'est qu'il faut que les blocs carrés qu'on a sur la diagonale soient facilement inversible (par exemple avec pas mal de 0), sinon, ça n'a plus d'intérêt.
Par contre, le truc de clair (et d'évident), c'est que risque pas d'avoir de blocs rectangulaires sur la diagonale : vu ton algo. itératif, il est bien clair que la matrice A, il faut la voir comme celle d'un endomorphisme, c'esgt à dire d'une application linéaire d'un e.v. E dans lui même (sinon, ça aurait aucun sens de répliquer la même procédure une deuxième fois).
Et ça en terme "bébète" sur la matrice, ben ce que ça te dit, c'est que si ta matrice 6x6 tu décide de "couper" les 6 colonnes en 6 = 3 + 1 + 2 alors forcément tu fait la même découpes 6 = 3 + 1 + 2 sur les lignes. Et sur la diagonale, tu as donc une matrice 3x3 puis une 1x1 puis une 2x2. Seuls les blocs en dehors de la diagonale sont rectangulaire (et heureusement vu que ce sont eux qui font "le point" entre les différents et qui maintenant ne représentent plus des réels mais des vecteurs colonne pas tous de même taille.