Alors pour le cas général, il n'y a pas de belle formule. Cependant avec quelques hypothèses, on peut avoir des trucs sympas.
Si
avec
inversible, on peut utiliser la décomposition
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ce qui donne
Ou encore, si
et
et
commutent, la belle formule
ou une formule analogue lorsque
et
commutent (à savoir
).
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Pour le cas de la matrice triangulaire par blocs, il y a une autre (jolie) manière de raisonner. On peut considérer la forme multilinéaire alternée
qui à
matrices colonnes de taille
associe
où
est la même matrice que
en remplaçant
par
.
Par théorème fondamental, (l'espace vectoriel des formes
-linéaires alternées sur un espace de dimension
est de dimension 1) on a
où
est une constante et
le déterminant dans la base canonique de l'espace des matrices colonnes de tailles
.
Alors, en confondant
-uplet de colonnes et matrice, on a
(développements par rapport à la première colonne successifs) et
d'où
.
Joli, non ?