Une équation de degré III

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Dacu
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Une équation de degré III

par Dacu » 20 Aoû 2019, 18:16

Bonjour tout le monde,

Résoudre l'équation .

Cordialement,

Dacu



lyceen95
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Re: Une équation de degré III

par lyceen95 » 20 Aoû 2019, 19:01

En général, avec les équations du 3ème degré, soit il y a une racine 'évidente', et on sait faire, soit il n'y a pas de racine évidente, et on ne sait pas faire.

Donc, cette fameuse solution évidente, il faut tâtonner, et la trouver.

En général, on cherche 1, -1, 2, -2... et on abandonne.
Ici, les coefficients sont complexes. Regardons si par hasard ne serait pas racine de cette équation.

LB2
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Re: Une équation de degré III

par LB2 » 20 Aoû 2019, 19:02

Bonjour,

est-ce une énigme ? ou un exercice dont tu n'as pas la solution et pour lequel tu souhaites de l'aide?

Je rejoins lyceen95 : il s'agit de trouver une racine évidente, sinon on devra recourir aux formules de Cardan.
Pour les trouver, on cherche les racines évidentes réelles ou imaginaires pures.
On obtient après calculs (système de 2 équations de degré 3) que l'équation n'a pas de racine réelle, et que z=i est racine évidente. On peut donc factoriser le polynôme de départ par (z-i) et se ramener à une équation du second degré à coefficients complexes, que l'on sait résoudre.
Modifié en dernier par LB2 le 21 Aoû 2019, 13:05, modifié 1 fois.

Dacu
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Re: Une équation de degré III

par Dacu » 21 Aoû 2019, 07:55

LB2 a écrit:Bonjour,

est-ce une énigme ? ou un exercice dont tu n'as pas la solution et pour lequel tu souhaites de l'aide?

Je rejoins lyceen95 : il s'agit de trouver une racine évidente, sinon on devra recourir aux formules de Cardan.
Pour les chercher, on cherche les racines évidentes réelles ou imaginaires pures.
On obtient après calculs (système de 2 équations de degré 3) que l'équation n'a pas de racine réelle, et que z=i est racine. On peut donc factoriser le polynôme de départ par (z-i) et se ramener à une équation du second degré à coefficients complexes, que l'on sait résoudre.

Bonjour,


En fait, j'aimerais trouver une racine sans l'aide des formules de Cardan ...et en aucun cas n’avez-nous recours à l’intuition pour trouver une racine ...

Comment pourrions-nous trouver une méthode telle que la méthode d'approximation successive ou la méthode de Newton pour résoudre les équations de forme avec et ?
Par exemple, comment pourrions-nous résoudre l'équation , sans les formules de Cardan?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu

LB2
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Re: Une équation de degré III

par LB2 » 21 Aoû 2019, 12:31

Bonjour,

as tu bien lu mon message?
A aucun moment il n'est question d'utiliser les formules de Cardan, justement.
De plus, les méthodes d'approximations ne sont pas nécessaires ici car nous pouvons trouver une solution 'évidente' (z=i) avec la méthode que nous t'avons donnée.

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chan79
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Re: Une équation de degré III

par chan79 » 21 Aoû 2019, 12:48

salut
Suis le conseil de lyceen95. Essaie avec x=i

lyceen95
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Re: Une équation de degré III

par lyceen95 » 21 Aoû 2019, 15:28

Je pense que Dacu a vu que i était solution, mais qu'il pose une nouvelle question :
Pour une équation du 3ème dergé en général, sans passer par la recherche d'une racine évidente, ou bien quand il n'y a pas de racine évidente, y a-t-il une méthode plus simple que la méthode de Cardan pour résoudre une équation du 3ème degré à coefficients complexes ?
Et j'ai bien peur que la réponse est : Non.

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fatal_error
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Re: Une équation de degré III

par fatal_error » 21 Aoû 2019, 15:29

Comment pourrions-nous trouver une méthode telle que la méthode d'approximation successive ou la méthode de Newton


si ta question c'est par rapport au fait que ici on est dans C et non pas dans R,
alors on peut:
remplacer x par a+ib
injecter dans l'eq E.
on obtient E_1(a,b)=0 et E_2(a,b)=0 (respectivement pour les parties réelles et imaginaires)
et cette fois on est dans R.
on peut chercher (a,b) tq E_1^2(a,b) + E_2^2(a,b) = 0 qui donnera 0 que si E_1(a,b) et E_2(a,b) valent 0 par ex avec newton
la vie est une fête :)

Black Jack
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Re: Une équation de degré III

par Black Jack » 22 Aoû 2019, 12:05

Salut

"En fait, j'aimerais trouver une racine sans l'aide des formules de Cardan ...et en aucun cas n’avez-nous recours à l’intuition pour trouver une racine ..."

Ne pas confondre "intuition" et "observation".

Pour résoudre l'équation proposée, un simple regard permet de voir que le coeff de x³ et celui de x² sont dans un rapport i.
... et pareillement : le coeff de x et celui du terme constant sont aussi dans un rapport i.

On a donc :

i(2-i).x³ + (2-i).x² + i(4-3i).x + 4-3i = 0

(2-i).x²(1+ix) + (4-3i).(1+ix) = 0

(1+ix).((2-i).x² + (4-3i)) = 0

Soit :

1+ix = 0 --> x = i

OU

(2-i).x² + (4-3i) = 0

x² = -(4-3i)/(2-i)
x² = -2,2 + 0,4i (facile à résoudre)
...

8-)

Dacu
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Re: Une équation de degré III

par Dacu » 23 Aoû 2019, 08:49

Black Jack a écrit:Salut

"En fait, j'aimerais trouver une racine sans l'aide des formules de Cardan ...et en aucun cas n’avez-nous recours à l’intuition pour trouver une racine ..."

Ne pas confondre "intuition" et "observation".

Pour résoudre l'équation proposée, un simple regard permet de voir que le coeff de x³ et celui de x² sont dans un rapport i.
... et pareillement : le coeff de x et celui du terme constant sont aussi dans un rapport i.

On a donc :

i(2-i).x³ + (2-i).x² + i(4-3i).x + 4-3i = 0

(2-i).x²(1+ix) + (4-3i).(1+ix) = 0

(1+ix).((2-i).x² + (4-3i)) = 0

Soit :

1+ix = 0 --> x = i

OU

(2-i).x² + (4-3i) = 0

x² = -(4-3i)/(2-i)
x² = -2,2 + 0,4i (facile à résoudre)
...

8-)

Salut,

En roumain "intuiție=observație" et je pense qu'et en français , intuition = observation....et donc votre l'intuition=l'observation est correcte....
------------------------------------------------------------------
Et je répète:
Comment pourrions-nous trouver une méthode telle que la méthode d'approximation successive ou la méthode de Newton pour résoudre les équations de forme avec et ?
Par exemple, comment pourrions-nous résoudre l'équation , sans les formules de Cardan?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu

GaBuZoMeu
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Re: Une équation de degré III

par GaBuZoMeu » 23 Aoû 2019, 19:03

Dacu, tu parles de méthode de Newton plus haut. Que cherches-tu ? Une résolution exacte (possible ici sans grand effort grâce à l'observation que i est racine) ou une résolution numérique, approchée ?

Dacu
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Re: Une équation de degré III

par Dacu » 24 Aoû 2019, 07:09

GaBuZoMeu a écrit:Dacu, tu parles de méthode de Newton plus haut. Que cherches-tu ? Une résolution exacte (possible ici sans grand effort grâce à l'observation que i est racine) ou une résolution numérique, approchée ?

Bonjour,

Je cherche une résolution numérique.Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu

GaBuZoMeu
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Re: Une équation de degré III

par GaBuZoMeu » 25 Aoû 2019, 12:57

Il y a foultitude d'algorithmes de résolution numérique.
Une méthode est la méthode d'homotopie.
Voir ici pour une introduction.
L'idée est de partir d'une équation (ou d'un système d'équations) dont on connaît les solutions, et de déformer cette équation en suivant ses solutions pour arriver à l'équation que l'on veut étudier. On suit un chemin qui mène de l'équation de départ à l'équation d'arrivée, à chaque pas on prédit les solutions à l'étape suivante et on corrige la petite erreur par une méthode de Newton.
L'implémentation de cette méthode dans la librairie dont j'ai donné le lein plus haut est super-efficace.

Dacu
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Re: Une équation de degré III

par Dacu » 29 Aoû 2019, 07:42

GaBuZoMeu a écrit:Il y a foultitude d'algorithmes de résolution numérique.
Une méthode est la méthode d'homotopie.
Voir ici pour une introduction.
L'idée est de partir d'une équation (ou d'un système d'équations) dont on connaît les solutions, et de déformer cette équation en suivant ses solutions pour arriver à l'équation que l'on veut étudier. On suit un chemin qui mène de l'équation de départ à l'équation d'arrivée, à chaque pas on prédit les solutions à l'étape suivante et on corrige la petite erreur par une méthode de Newton.
L'implémentation de cette méthode dans la librairie dont j'ai donné le lein plus haut est super-efficace.

Bonjour,

Très intéressant!Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu

 

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