Résolution géométrique d'une équation de 2nd degré à 2 incon

[sue]

salut !
qqn pourrait m'expliquer comment faire par exemple si on cherche à déterminer toutes les solutions rationnelles de : (E) avec une méthode géom.
on peut remarquer que le problème revient à trouver tous les coordonées rationnelles sur le cercle unité mais aprés on fait quoi ?

merci :we:

[jose_latino]

Il faut remarquer que ce problème est équivalent à trouver les triplets pythagoriens. Je ne sais pas si c'est le truc que tu cherches. Car, il y a une formule pour retrouver tous ces triplets.

[sue]

bonsoir ,

oui mais comment peut-on les trouver géomètriquement ? à vrai dire le prof nous a expliqué la méthode en bref avec cet exemple mais j'ai pas trés bien saisi et j'ai un exo analogue avec l'équation d'une ellipse donc j'aimerais bien comprendre la méthode .

[Zebulon]

Bonsoir,
j'ai trouvé ceci si tu veux. Ca me rappelle un cours de géométrie sur Pythagore, que j'ai eu en tout début d'année. Dès que je le retrouve, je poste. :we:

Modification : j'ai retrouvé ce cours. Il est long, compliqué, et il me faudrait du temps pour bien le comprendre avant de le rédiger ici. En gros, ça compare la situation à un billard peu ordinaire : il est circulaire, quand la boule touche la bande, elle s'arrête, et on tire uniquement depuis les points 1+i, 1-i, -1+i et -1-i. Ce que je dis est très vague car il l'avait seulement expliqué à l'oral !

[Joker62]

oui on voit bien que ça correspond aux coordonnées rationnelles sur le cercle unité, peut être en passant au complexe, e^ix, solution rationnelle si et seulement si cos(x) € Z et sin(x) € Z no ?

[Zebulon]

x² + y² = 1 c'est l'équation du cercle de centre 0 et de rayon 1...

Ben c'est ce que Sue utilise ici :

déterminer toutes les solutions rationnelles de : (E) avec une méthode géom.
on peut remarquer que le problème revient à trouver tous les coordonées rationnelles sur le cercle unité

[sue]

ok merci à vous , mais je viens de contacter un camarade et m'a expliqué ce qu'a dit le prof .

j'ai retrouvé ce cours. Il est long, compliqué, et il me faudrait du temps pour bien le comprendre avant de le rédiger ici. En gros, ça compare la situation à un billard peu ordinaire : il est circulaire, quand la boule touche la bande, elle s'arrête, et on tire uniquement depuis les points 1+i, 1-i, -1+i et -1-i. Ce que je dis est très vague car il l'avait seulement expliqué à l'oral !

ça m'étone Zébulon , ce qu'on a fait est bien plus simple :hein:
j'ai compris qu'on doit remarquer que (1,0) est solution donc la droite D (non verticale) passant par A(1,0) coupe le cercle en un point A' , donc A' est à coordonées rationneles ssi la pente de la droite D est rationnelle .
on a D : y=t(x-1) donc ça revient à résoudre la système : y=t(x-1) et x²+y²=1
on trouve ainsi : et
aprés on fait la réciproque on vérifie que si A et A' sont à coordonnées rationnelles la pente de (AA') .

[yos]

j'ai compris qu'on doit remarquer que (1,0) est solution donc la droite D (non verticale) passant par A(1,0) coupe le cercle en un point A' , donc A' est à coordonées rationneles ssi la pente de la droite D est rationnelle .
on a D : y=t(x-1) donc ça revient à résoudre la système : y=t(x-1) et x²+y²=1
on trouve ainsi : et
aprés on fait la réciproque on vérifie que si A et A' sont à coordonnées rationnelles la pente de (AA') .

Oui c'est la méthode de paramétrage la plus simple. On en déduit facilement les triplets pythagoriciens mais c'est pas ton problème. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cette méthode?

[sue]

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cette méthode?

je comprend mnt la méthode , un camarade de classe me l'a expliquée . J'ai pas pris de notes lors du cours et le prof l'a vite expliquée donc j'ai pas trés bien compris mais mnt c clair .
merci en tt cas Yos :we: