Bonjour tout le monde,
Résoudre l'équation où .
Cordialement,
Dacu
LB2 a écrit:Bonjour,
est-ce une énigme ? ou un exercice dont tu n'as pas la solution et pour lequel tu souhaites de l'aide?
Je rejoins lyceen95 : il s'agit de trouver une racine évidente, sinon on devra recourir aux formules de Cardan.
Pour les chercher, on cherche les racines évidentes réelles ou imaginaires pures.
On obtient après calculs (système de 2 équations de degré 3) que l'équation n'a pas de racine réelle, et que z=i est racine. On peut donc factoriser le polynôme de départ par (z-i) et se ramener à une équation du second degré à coefficients complexes, que l'on sait résoudre.
Comment pourrions-nous trouver une méthode telle que la méthode d'approximation successive ou la méthode de Newton
Black Jack a écrit:Salut
"En fait, j'aimerais trouver une racine sans l'aide des formules de Cardan ...et en aucun cas n’avez-nous recours à l’intuition pour trouver une racine ..."
Ne pas confondre "intuition" et "observation".
Pour résoudre l'équation proposée, un simple regard permet de voir que le coeff de x³ et celui de x² sont dans un rapport i.
... et pareillement : le coeff de x et celui du terme constant sont aussi dans un rapport i.
On a donc :
i(2-i).x³ + (2-i).x² + i(4-3i).x + 4-3i = 0
(2-i).x²(1+ix) + (4-3i).(1+ix) = 0
(1+ix).((2-i).x² + (4-3i)) = 0
Soit :
1+ix = 0 --> x = i
OU
(2-i).x² + (4-3i) = 0
x² = -(4-3i)/(2-i)
x² = -2,2 + 0,4i (facile à résoudre)
...
GaBuZoMeu a écrit:Dacu, tu parles de méthode de Newton plus haut. Que cherches-tu ? Une résolution exacte (possible ici sans grand effort grâce à l'observation que i est racine) ou une résolution numérique, approchée ?
GaBuZoMeu a écrit:Il y a foultitude d'algorithmes de résolution numérique.
Une méthode est la méthode d'homotopie.
Voir ici pour une introduction.
L'idée est de partir d'une équation (ou d'un système d'équations) dont on connaît les solutions, et de déformer cette équation en suivant ses solutions pour arriver à l'équation que l'on veut étudier. On suit un chemin qui mène de l'équation de départ à l'équation d'arrivée, à chaque pas on prédit les solutions à l'étape suivante et on corrige la petite erreur par une méthode de Newton.
L'implémentation de cette méthode dans la librairie dont j'ai donné le lein plus haut est super-efficace.
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