Trouver un contre exemple

[dellamab]

Bonjour,
Je souhaite trouver un contre exemple de la proposition suivante :
Soit f appartient à la classe C^1 => f appartient à la classe C^2

[Rhaegar]

Bonjour,

Une primitive de la fonction est un contre exemple. Une telle primitive existe puisque f est continue. De plus, est mais pas . Par conséquent, ses primitives sont mais pas .

[Rhaegar]

Au passage, une primitive est donnée par la fonction .

[dellamab]

Mais ici on ne chercher pas une primitive mais une dérivée. Du coup, j'ai du mal à comprendre. Pouvez-vous détaillez s'il vous plaît ?

[dellamab]

@Rhaegar

[hdci]

Ou un autre exemple avec une formule directe : la fonction définie par
prolongée par continuité en 0 par

Sa dérivée est pour tout x non nul : , qui a pour limite 0 en zéro, et on calcule explicitement f'(0) en utilisant la définition du nombre dérivé



La dérivée est bien continue en 0 donc f est de classe C1.

Mais elle n'est pas dérivable en 0.

Ou encore la fonction qui est deux fois dérivable, mais la dérivée seconde n'est pas continue en zéro.

[hdci]

Mais ici on ne chercher pas une primitive mais une dérivée. Du coup, j'ai du mal à comprendre. Pouvez-vous détaillez s'il vous plaît ?

Relisez bien ce que vous a écrit Rhaegar : soit f une primitive de |x|. Alors f est dérivable (sa dérivée est |x|) est sa dérivée est continue, donc f est de classe C1. Mais la valeur absolue n'est pas dérivable en 0, donc f n'admet pas de dérivée seconde en 0.

Donc f est un exemple de fonction de classe C1 et qui n'est pas de classe C2.

On peut définir f par partie : si et sinon. Vérifier que la dérivée est bien

[Rhaegar]

Considére la fonction . Cette fonction est dérivable et sa dérivée est . est continue. On en déduit que est une fonction de classe puisque c'est une fonction dérivable dont la dérivée est continue.

Si on s'intéresse maintenant à , on remarque qu'elle n'est pas dérivable en 0 (et donc pas dérivable sur ). Elle n'est donc pas de classe . Par conséquent, on ne peut pas dériver deux fois et donc n'est pas de classe .

[dellamab]

@Rhaegar, ok j'ai bien compris le raisonnement. Par contre je ne comprends pas comment vous trouvez que la dérivé de F(x) est égale à |x|, parce que quand je fais sa dérivée je trouve : (6*x^2*abs(x)-2*x^3)/(2*abs(x))^2

[dellamab]

@hdci Merci

[hdci]

(6*x^2*abs(x)-2*x^3)/(2*abs(x))^2 en "lisible", c'est, après simplifications (habituez vous à faire les simplifications...



Mais maintenant il va falloir que vous expliquiez comment vous obtenez cette formule car elle est un peu fausse.

en effet, vous utilisez

Mais quelle est la dérivée de la fonction ... ?

[Rhaegar]

Comme l'a justifié hdci, il suffit de séparer les cas x>0 et x<0. Il faut ensuite "recoller les morceaux". En gros, on prolonge notre fonction par continuité en 0. On pose une fonction g vérifiant
On a donc si x<0, et si x > 0. La fonction g est bien continue. On veut maintenant justifier que F' = g. Il faut pour cela vérifier que la dérivée en 0 de existe et est bien 0. Pour cela il faut revenir à la définition de la dérivée avec les accroissements finis, c'est à dire montrer que , ce qui est bien le cas.

[dellamab]

Merci beaucoup à vous deux

[Vassillia]

Bonjour, pourquoi ne pas prendre directement la fonction définie sur ? Cela simplifie les choses je trouve.

[Rhaegar]

Oui effectivement, c'est la même fonction puisque . ça simplifie les choses.