Contre-exemple, Modules libres

[simplet]

Bonjour,
J'ai deux questions (dont un contre exemple) sur les modules libres.
Je vous énonce le peu de données: Soit A un anneau. Soient M et N deux A-modules. Soit f:M->N un homomorphisme de A-modules surjectif. Notons L le noyau de f.

1) Donner un exemple où M est libre sans que L soit libre.

2) Supposons M=A^2 et N=A. Montrer que L est libre.

___________________________________________________

1)Une indication propose de prendre A=M=Z/9Z. Le probleme... c'est qu'alors M n'est pas libre!!??

2) Alors là j'ai trouvé des trucs:

_On sait que M/L est libre donc L admet un supplémentaire M' libre dans M: M=L+M' (somme directe) où M et M' sont libres. (résultat de cours)

_De plus f surjective, donc en appelant e1, e2 une base de A^2 (par exemple e1=(1,0) et e2=(0,1) ) alors il existe a1, a2 dans A tels que 1=a1.f(e1)+a2.f(e2).
En appelant e=a1.e1+a2.e2 alors f(e)=1 (la base de A) et M' est donné par A.e=M (résultat auxiliaire)

A partir de là je veux montrer que L est libre de rang 1.

Qu'en pensez-vous jusqu'à maintenant? Apres je n'arrive pas à trouver une base (d'un élément) pour L..

mercii (pour vos réponses bien entendu :-)

[jose_latino]

2) Alors là j'ai trouvé des trucs:

_On sait que M/L est libre donc L admet un supplémentaire M' libre dans M: M=L+M' (somme directe) où M et M' sont libres. (résultat de cours)

_De plus f surjective, donc en appelant e1, e2 une base de A^2 (par exemple e1=(1,0) et e2=(0,1) ) alors il existe a1, a2 dans A tels que 1=a1.f(e1)+a2.f(e2).
En appelant e=a1.e1+a2.e2 alors f(e)=1 (la base de A) et M' est donné par A.e=M (résultat auxiliaire)

A partir de là je veux montrer que L est libre de rang 1.

Qu'en pensez-vous jusqu'à maintenant? Apres je n'arrive pas à trouver une base (d'un élément) pour L..

mercii (pour vos réponses bien entendu

T'a montré que e engendre M, mais il manque de démontrer que est linéairement indépendent, dans ce cas: que implique , c'est difficile, il suffit d'évaluer sur l'expression. Bon courage

[jose_latino]

Bonjour,
J'ai deux questions (dont un contre exemple) sur les modules libres.
Je vous énonce le peu de données: Soit A un anneau. Soient M et N deux A-modules. Soit f:M->N un homomorphisme de A-modules surjectif. Notons L le noyau de f.

1) Donner un exemple où M est libre sans que L soit libre.

2) Supposons M=A^2 et N=A. Montrer que L est libre.

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1)Une indication propose de prendre A=M=. Le probleme... c'est qu'alors M n'est pas libre!!??

est bien libre comme module. Sûrement, l'application est , définie par

[simplet]

1) A oui!! Z/9Z n'est pas libre comme Z-module mais l'est comme Z/9Z module!!

2)

T'a montré que e engendre M, mais il manque de démontrer que est linéairement indépendent, dans ce cas: que implique , c'est difficile, il suffit d'évaluer sur l'expression. Bon courage

e est libre: si x tel que x.e=0 alors x.f(e)=0 et comme f(e)=1 (ou plus generalement c'est une base de A) alors x=0. nan?

[simplet]

A partir de là je veux montrer que L est libre de rang 1.

Qu'en pensez-vous jusqu'à maintenant? Apres je n'arrive pas à trouver une base (d'un élément) pour L..

mercii (pour vos réponses bien entendu

J'ai essayé un truc , mais j'aurais quelque chose d'un peu plus "élégant"...

Alors je cherche déja un élément de L=Kerf (en espérant en déduire un générateur :soupir2: )
Je cherche b1.e1+b2.e2 dans L : en appliquant f on a b1.f(e1)+b2.f(e2)=0 et comme tout ca est dans A , je pose b1=f(e2) et b2=-f(e1) et , on a bien
f(e2).e1-f(e1).e2 dans L .
Il faut maintenant savoir si c'est bien un générateur (je ne pense pas que ce soit une mince affaire) mais sa construction me fait pensez que si.. éternel optimiste...

qu'en pensez vous? Une meilleur idée??