Définition de la convergence uniforme : contre exemple

[sylwa]

Bonjour,

Si on considère uniquement la définition de la convergence uniforme énoncée comme :

cvu

je ne vois pas pourquoi l'exemple suivant viole cette définition :
contre exemple

En revanche, si l'on considère le résultat suivant :
Si (f)n est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur X vers une fonction f alors f est continue sur X.
alors le contre exemple ci-dessous est pertinent.

D'où ma question : le résultat ci dessous est il un corolaire implicite de la définition de la convergence uniforme énoncée au début de ce message ?

Merci pour vos commentaires.

Sylvain

[Judoboy]

Dans l'exemple que tu donnes, avec Fn=sin(x)^n, t'as une fonction qui converge simplement vers



F0 : Pi/2-> 1
x -> 0 si x=/= Pi/2

Tu n'as pas convergence uniforme vers F0 car tu auras toujours une distance entre Fn et F0 qui vaudra 1 (pour rappel, d(f,g) vaut sup(f(x)-g(x)) pour x appartenant à [0;Pi]).

Tu peux donc avoir une suite de fonctions continues qui converge (simplement mais pas uniformément) vers une fonction non continue. Après je comprends pas bien tes questions, il n'y a pas d'exemple ni de résultat "ci-dessous", ni même "ci-dessus".

[sylwa]

Salut JudoBoy!

Tout d'abord merci pour ta réponse.
Mes réponses insérées ci-dessous :

Dans l'exemple que tu donnes, avec Fn=sin(x)^n, t'as une fonction qui converge simplement vers



F0 : Pi/2-> 1
x -> 0 si x=/= Pi/2

Tu n'as pas convergence uniforme vers F0 car tu auras toujours une distance entre Fn et F0 qui vaudra 1 (pour rappel, d(f,g) vaut sup(f(x)-g(x)) pour x appartenant à [0;Pi]).

C'est là que je coince... La distance entre Fn et F0 vaut 0 en Pi/2 et un epsilon aussi petit que tu veux partout ailleurs pour n suffisamment grand non ?
Pour quel x de [0, Pi] cette distance serait elle égale à 1 ?

Tu peux donc avoir une suite de fonctions continues qui converge (simplement mais pas uniformément) vers une fonction non continue. Après je comprends pas bien tes questions, il n'y a pas d'exemple ni de résultat "ci-dessous",

Désolé pour ce méli mélo.... il faut comprendre "dessus" au lieu de "dessous"
Le résultat "ci dessus" donc, auquel je fais référence est le suivant :
"Si (f)n est une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur X vers une fonction f alors f est continue sur X."
et ma question : est ce que cette assertion est contenue dans la définition de la convergence uniforme énoncée dans mon message sous la forme d'un corolaire implicite qu'on peut démontrer, ou, est ce un théorème en soit qui serait totalement découplé de la définition de la convergence uniforme que je donne ?

ni même "ci-dessus".

Merci !

[Judoboy]

C'est là que je coince... La distance entre Fn et F0 vaut 0 en Pi/2 et un epsilon aussi petit que tu veux partout ailleurs pour n suffisamment grand non ?
Pour quel x de [0, Pi] cette distance serait elle égale à 1 ?

Tu n'atteins jamais 1 mais tu peux rendre cette distance aussi proche de 1 que tu veux en te rapprochant de Pi/2, et ce quel que soit n. Donc finalement sup(Fn(x)-F0(x)) vaut toujours 1.

[chan79]

Tu n'atteins jamais 1 mais tu peux rendre cette distance aussi proche de 1 que tu veux en te rapprochant de Pi/2, et ce quel que soit n. Donc finalement sup(Fn(x)-F0(x)) vaut toujours 1.

Allez, une autre tentative d'explication pour montrer que la suite
ne converge pas uniformément
[img][IMG]http://img826.imageshack.us/img826/8109/sincg.png[/img][/IMG]
Quel que soit le rang, du fait de la continuité des fonctions, on pourra toujours trouver un intervalle centré en pi/2, tel que tous les x de cet intervalle aient leur image supérieure à 1/2 par exemple. Donc on ne pas rendre tous les aussi proches qu'on veut de leur limite qui est 0.
Je ne sais pas si j'ai clarifié les choses ....

[sylwa]

Tu n'atteins jamais 1 mais tu peux rendre cette distance aussi proche de 1 que tu veux en te rapprochant de Pi/2, et ce quel que soit n. Donc finalement sup(Fn(x)-F0(x)) vaut toujours 1.

a) En effet, on sent intuitivement que lorsque x se rapproche de Pi/2 par valeur inférieure, alors Fn tend vers 1 pour n fixé.
b) Inversement, pour x fixé au voisinage de Pi/2, on peut toujours trouvé un n(x) tel que (Fn(x)-F0(x)) se rapproche de 0 autant qu'on veut => c'est la convergence simple, puisque n dépend de x.

As tu une idée pour le démontrer analytiquement ? J'ai voulu passer par un développement limité autour de Pi/2 de Fn. ça permet de montrer a) mais ça ne donne rien pour b).

Merci pour ton aide Judoboy.

[sylwa]

Merci Chan79, bonne clarification.