Transposée d'une matrice

[Maths-ForumR]

Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice :

Soit n un entier non nul et f un l'endomorphisme qui a la matrice M associe la transposée de M.

1) Vérifier que f est un endomorphisme
2) Calculer son rang, sa trace, son déterminant on pourra écrire la matrice de f dans une base adaptée.

Pour la 1) il faut montrer que f est une application linaire de E dans E (mais e ne vois pas comment faire)

Pouvez vous m'aider
Merci

[samoufar]

Bonjour,

Clairement f est à valeurs dans E. Ensuite on revient à la caractérisation d'une application linéaire :
Montrer que pour toutes matrices et tout élément de on a :

Ensuite regardes l'effet de cette application sur les matrices de la base canonique de pour écrire la matrice de l'application "transposée" dans cette base.

[Maths-ForumR]

Très bien merci

je ne comprend pas très bien " Ensuite regardes l'effet de cette application sur les matrices de la base canonique " sauf dire que la transposée ne change pas les éléments diagonaux..

[samoufar]

N'oublies pas qu'il s'agit d'une application linéaire sur l'espace des matrices carrées d'ordre . Par conséquent quelle est la base canonique de cet espace ? Si est dans la base canonique, que vaut ?

[Maths-ForumR]

Dans la base canonique on a : tM=M

[samoufar]

Selon ton résultat, l'application "transposée" serait la même que l'application "identité"

La base canonique de est la famille des matrices où tous les coefficients sont nuls sauf celui de coordonnées qui vaut .

Par conséquent que vaut ? Déduis-en la matrice de l'application "transposée" dans la base canonique de