Transport d'ensemble - Topologie

[Lostounet]

Bonjour !

Aujourd'hui je m'attaque à d'autres exercices.

Exo1:
Soit X, , , des espaces métriques. Soit f une application de X dans Y1xY2.

L'objectif est de prouver que f est continue si et seulement si et sont continues, avec p1 et p2 les applications coordonnées (p1(x1,x2) = x1 et p2(x1,x2) = x2).

1. Montrer le sens évident
2. Montrer que f continue ssi l'image réciproque de tout pavé ouvert de Y1xY2 est un ouvert de X
3. Soit U1 x U2 un pavé de Y1xY2. Montrer que:

Conclure


1. Pour moi le sens évident c'est si f continue, alors p1 o f et p2 o f sont aussi continues lorsque p1 et p2 sont continus.
Pour montrer qu'ils sont continus je montre que l'image réciproque d'un ouvert par f est un ouvert.

2. Cela va ressembler à la preuve du cours de f continue ssi l'ouvert a son image récriproque un ouvert?

[Robot]

Il suffit d'appliquer la définition de la topologie produit sur .
Peux-tu la rappeler ?

[Lostounet]

Il suffit d'appliquer la définition de la topologie produit sur .
Peux-tu la rappeler ?

Je ne comprends pas quelle définition il me faut donner donc je donne celle que j'ai en tête concernant comment se déplacer dans Y1xY2:

(Y1, d) espace métrique, (Y2, d') espace métrique, on peut définir trois distances sur Y1 x Y2,
d1: ((x; y), (x',y')) = dY1(x,x') + dY2(y,y')

Ou alors d2 la même chose avec pythagore d2:

Ou bien la d infinie, le max des deux distances.

[Robot]

Ces trois distances définissent-elles la même topologie ?

[Lostounet]

Ces distances ne sont pas équivalentes en général donc pas la même topologie...?

[Robot]

Qu'en penses-tu ?

[Lostounet]

Mais encore.... :p

Bon déjà pourquoi p1 et p2 sont continues?

[Robot]

Pour parler de continuité, il faut déjà savoir quelle topologie on a sur . Il vaudrait mieux qu'il n'y en ait qu'une seule de raisonnable, non ? Tu as trois distances sur le produit. D'où la question : donnent-elles la même topologie ? Allez, je suis sûr que tu peux y répondre. Par exemple en majorant et en minorant en fonction de , etc.

[Lostounet]

Ah oui les trois distances sont bien équivalentes et définissent la seule et raisonnable topologie sur Y1xY2.
Regarde par exemple:
d1 = a + b
d2 = V(a^2 + b^2)

On a par exemple avec des identités remarquables:

d1 > d2
d1 < 2d2

[Robot]

Bon c'est des inégalités larges (il vaut mieux les écrire correctement).

Peu importe donc avec laquelle des trois distances on travaille, pour tout ce qui concerne la topologie (et en particulier la continuité des applications). Vu l'énoncé, il vaut mieux travailler avec la distance sur le produit pour laquelle les boules ouvertes sont les pavés ouverts, n'est-ce pas ?

[Lostounet]

La norme infinie je dirais?

[Robot]

Eh ben vas-y !

[Lostounet]

Bon, je prends donc une boule ouverte B de Y1 et je montre que l'image réciproque de B par p1 est un ouvert de Y1xY2....

Soit B une boule ouverte de Y1, on a p1_-1 (B) = {(x; y) dans Y1xY2 tel que p(x;y) appartient à B)
= {(x; y) dans Y1xY2 tel que x est dans B)

Je n'avance pas :/

[Lostounet]

Je considère un pavé ouvert et je veux montrer que si son image réciproque par f est un ouvert alors f continue.

Tout le problème est que je n'aime pas travailler avec un produit cartésien. Je considère donc une boule ouverte incluse dans le pavé.
Soit a(x1; x2) un élément de f^(-1) de U1xU2
f(a) est un élément du pavé U1 x U2...

:doh:

[Robot]

Tout le problème est que je n'aime pas travailler avec un produit cartésien.

Faut t'y faire, mon vieux ! :lol3:

Bon, fixons les notations. On part avec la distance sur et la distance sur . On munit de la distance définie par .
(Ca serait plus simple en parlant de topologie produit, mais bon, tu restes dans le cadre métrique ...).
Alors les boules ouvertes pour sont des pavés ouverts :


Avec ça, tu devrais pouvoir te débrouiller, non ?

[Lostounet]

Juste une question:
Comment je peux montrer que pour U1 x U2 un pavé ouvert,
f^(-1) (U1 x U2) = f^(-1) (U1) inter f^(-1)(U2)

?

Edit: J'arrive pas à travailler avec la topologie produit...

[Robot]

Juste une question:
Comment je peux montrer que pour U1 x U2 un pavé ouvert,
f^(-1) (U1 x U2) = f^(-1) (U1) inter f^(-1)(U2)

Tu vois bien que ton écriture est incorrecte, puisque ni ni ne sont dans . Fais attention !
En t'aidant d'un petit dessin, tu dois pouvoir voir que

J'arrive pas à travailler avec la topologie produit...

Ya pu de topologie produit, on travaille avec une distance sur le produit cartésien (qui définit une topologie sur ce produit) !