Transport de structures (précisions de cours)

[HanZel]

Bonjour,
Je suis en train de voir en cours le transport de structures.
La definition si je ne me trompe pas est :
Soit un groupe, un ensemble et une bijection.
Alors est un groupe tel que :
,
et devient un isomorphisme de groupe.

Je suis un petit peu dans le flou:

une bijection.

Est-ce la même chose de dire que est un ensemble allant vers par , sachant qu'il est un groupe lorsqu'il est muni de la loi ? Je me pose cette question parce que je trouve ça bizarre de lié un groupe a un ensemble. Sinon j'aimerais que l'on m'explique ce que ça veut dire.

Ensuite:

;) ,

J'ai cherché la démonstration pour mieux comprendre mais je ne l'ai pas trouvé :triste:
Si elle n'est pas trop fastidieuse, serait-il possible de voir à quoi elle ressemble? (Parce qu'à première vu j'ai pas trop envie d'y croire :we: )

Et enfin:

devient un isomorphisme de groupe

Ça veut dire par exemple que si l'on a: , il existe une loi telle que est isomorphe à , si oui, est-elle unique?

Merci !

[HanZel]

Personne ne peut m'aider? :hein:

[Doraki]

Soit (G,*) un groupe et f : G -> E une bijection.
Alors on peut munir E d'une structure de groupe en prenant
élément neutre de E = f(élément neutre de G),
et pour f(x) et f(y) dans E, f(x) T f(y) = f(x*y).
(ou pour x et y dans E, x T y = f(f-1(x) * f-1(y)), c'est la même chose vu que f est une bijection)
f est alors un isomorphisme de groupes entre (G,*) et (E,T)

La structure de groupe de E est donnée par le groupe d'avant via l'isomorphisme.

f c'est un isomorphisme, donc on peut quasiment dire que G et E c'est la même chose.
f est juste une fonction qui change le nom des éléments de G pour les mettre dans E.