Trace d'une matrice

[Marcet003]

Bonjour,

Soit la matrice inversible suivante :

J'aimerais calculer la trace de son inverse. Sans calculer l'inverse de la matrice si possible...
Je me demande si il y a une méthode plus rapide ?

Merci beaucoup

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Avec son polynôme caractéristique, tu peux avoir la trace de l'inverse facilement.

[Marcet003]

J'y ai pensé, mais le polynôme caractéristique ne se scinde pas sur R. Et mes valeurs propres restent introuvables donc je ne sais pas quoi faire...

[Ben314]

Salut,
Tu n'a pas besoin de déterminer les valeurs propres de ta matrice.
1) Comment trouver la trace d'une matrice dont on connait le polynôme caractéristique ? (sans chercher les racines bien sûr)
2) Si on connait le polynôme caractéristique d'une matrice, comment repérer si la matrice est inversible ou pas et, si elle l'est, quel est le polynôme caractéristique de son inverse ?

P.S. : dans les deux cas, autant raisonner sur une matrice de dimension quelconque sur un corps quelconque . . .

[GaBuZoMeu]

Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres. Connais-tu les relations entre coefficients et racines d'un polynôme unitaire ?
Les valeurs propres de l'inverse d'une matrice inversible sont les inverses de ses valeurs propres.
La trace est la somme des valeurs propres.
Comment calculer facilement la somme des inverses des racines d'un polynôme unitaire dont le terme constant est non nul ?

[Marcet003]

Bonjour,
Merci pour vos réponses. Je crois que j'ai compris comment m'y prendre.

1) Je sais qu'on peut lire la trace dans le polynome caractéristique d'une matrice
2) Je connais une formule pour obtenir le polynome caractéristique de A^-1 à partir de la matrice A :
(-x)^n*det(A-1)*det(A - I*x)

Est-ce correct ?

[GaBuZoMeu]

Pas d'accord avec ta formule.
Tu ne sembles pas connaître les relations entre coefficients et racines (appelées souvent relations de Viète). Me trompé-je ?

[Marcet003]

Oui,
Désolé, il y a effectivement une erreur dans ma formule. Je la réécris :


Donc je suis en mesure de trouver le polynôme caractéristique de avec des données dont je dispose facilement.
Dès que j'ai trouvé le polynôme caractéristique de , j'utilise le fait que pour une matrice carrée de dimension n, le coefficient du terme en t à la puissance (n-1) de son polynome caractéristique est au signe près la trace de la matrice (J'ai trouvé ça sur internet, je crois que ça découle du thm de Cayley-Hamilton mais je suis pas sur ? Est-ce que vous savez ?)...

D'ailleurs, je ne connais pas plus que ça les relations de Viète et le lien qu'elles peuvent avoir avec mon problème.
Si vous me l'expliquez, c'est volontiers...

[GaBuZoMeu]

Soit le polynôme caractéristique de ta matrice, ses trois valeurs propres (aucune n'est nulle puisque la matrice est inversible). On a

En développant et en identifiant les coefficients, on obtient les relations de Viète :

La trace de la matrice inverse est . Elle se calcule donc très facilement à partir des coefficients du polynôme caractéristique, en utilisant les relations de Viète ci-dessus.

[Marcet003]

Merci, pour la méthode. Je n'avais pas pensé à passer par là.
Bonne journée !

[GaBuZoMeu]

Alors, quelle est ta réponse ?

[Marcet003]

Je trouve un quart.
Je vais être sincère, je n'ai pas été au bout du système d'eq. à trois inconnues. J'espère que tu m'en voudras pas... Ma question provient à la base d'un qcm d'un examen et je dois y répondre le plus rapidement possible.
Personnellement, je préfère le determinant d'une matrice 3x3 au système à trois inconnues... Mais c'est mon point de vue.

[GaBuZoMeu]

Pas besoin d'un système à trois inconnues !!!
Il suffit de remarquer que

Une fois qu'on a calculé le polynôme caractéristique , la réponse tombe immédiatement de la remarque ci-dessus et des relations de Viète.

[Marcet003]

Ah, c'est vrai que là ça change bcp. de choses. Effectivement c'est beaucoup plus rapide.
Merci beaucoup !!!

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.