Toute fonction mesurable est limite d'une suite croissante d

[simplet]

Bonjour,
je bloque sur un point de la démonstration " toute fonction mesurable positive est limite d'une suite croissante de fonctions étagées positives".

Alors déjà j'ai trouvé plusieurs définitions pour une fonction étagée. Est-ce que les fonctions étagées considées dans ce théorème sont supposées mesurables? (ie les ensembles des fonctions indicatrices en présence sont mesurables).

Bon alors le point qui pose problème:
Soit une fonction f mesurable positive.
Soit x un point de l'ensemble mesuré de départ; supposons que f(x) est fini.
Il existe alors un entier k tel que (ce sont des inégalités larges) : et .
Posons .
va bien tendre vers , mais pourquoi cette suite est-elle croissante??
Pour moi la suite est décroissante en comparant avec , j'avoue que je bloque. Et aussi pourquoi est-elle mesurable?

mercii beaucoup

[Chimomo]

Première chose, une fonction mesurable est une fonction telle que la préimage de toute partie mesurable est mesurable. Une fonction étagée est une fonction qui ne prends qu'un nombre fini de valeurs, et qui prends ces valeurs sur des ensembles mesurables. Une fonction étagée est donc par définition mesurable.

Maintenant le principe de la démonstration est d'approcher f "par en dessous". On fixe donc n un entier positif. On note An l'ensemble des points où f(x)>n (qui est mesurable puisque c'est la préimage par f de ]n , +oo[). On note ensuite Bn,i l'ensemble des points où i/2^n <= f(x) <= (i+1)/2^n (qui sont tous mesurables comme tu pourra le vérifier sans peine). Il ne reste plus qu'à définir une fonction Fn qui vaut n sur An et i/2^n sur Bn,i. On voie alors bien que la fonction Fn est étagée, que la suite (Fn) croit vers f.

[simplet]

je ne vois pas trés bien. Quel est le lien entre les An et Bn,i? Et n est fixé, mais le i d'où il sort? Puisque qu'une suite d'indice n ne dépend que de n, ce i dépend de n? Quel est sa relation? 0

[busard_des_roseaux]

bonsoir,

je signale par curiosité qu'il y a une axiomatique possible, compatible avec ZF
et la théorie des ensembles, où l'on pose comme axiome que toute fonction est mesurable.