Topologie / Suite

[Babe]

Bonsoir,

je ne comprend vraiment pas cet exercice, merci d'avance


Soit A un ensemble non vide, on suppose A a la fois ouvert et fermé

1)Soit a un element de A et s=sup {t>a, [a,t] A}
Prouvez que si s alors s
(on pourra commence par montre qu'il existe une suite ( A qui converge vers s)

2)En deduire que s=

3)Prouvez que A=

merci

[Ted]

Si tu ne comprends pas du tout je vais faire long... :briques:

Bon ton ensemble A est non vide, donc on choisit un de ses elements a.
En fait A est ouvert donc il y a quelque chose autour de a, c'est à dire que a est dans un intervalle contenu dans A: ]a-epsilon1;a+espilon2[.
Le but du début de l'exercice est de chercher la plus grande valeur possible pour a+epsilon2. On va essayer de l'agrandir au maximum vers la droite!
La bonne définition pour cette valeur est celle de s donnée dans ton ennoncé.
on peut donc coincer a dans ]a-epsilon1;s[.

On sait que s existe, mais il y a deux cas: s est fini ou non.
d'où la premiere question:

1) je suis l'indication et je cherche une suite à valeur dans A et qui converge vers s.
Pour l'instant tout ce que je connais comme valeur de A sont celles dans [a,s[.
Je cherche donc ma suite là dedans.
J'ai bricolé celle-ci: un= s-(s-a)/(n+1).
Je te laisse verifier qu'elle est bien dans [a,s[ donc dans A et qu'elle tend vers s.

Comme A est fermé, toute suite convergente à valeur dans A converge vers un element qui est dans A.
Appliqué à un, cela nous donne que s est dans A!

2) je pense que c'est la le plus subtil,
on a supposé s fini, or s est dans A, donc comme en préambule tu peux coincer s dans un intervalle ]s-epsilon3;s+epsilon4[.
Mais cela veut dire que je peux coincer a dans un intervalle encore plus grand à droite que [a,s], c'est à dire [a,s+epsilon4[ ce qui contredit le fait que s soit une borne sup!
Donc s fini n'est pas valable, ainsi s est infini.

3) on a agrandir l'intervalle à droite vers l'infini, mais le raisonnement est le même pour l'agrandir à gauche.
Donc tout les réels sont dans A.
Moralité A=R.

A toi de formaliser!