Topologie matrice

[lkri]

Bonjour

Je suis face à un exercice de topologie sur les matrices qui me bloque

Soient et
On suppose que est muni d'une norme et que la suite est bornée. On note pour tout


Il faut d'abord montrer que la suite admet au moins une valeur d'adhérence dans

Ce que j'ai fait : Comme la suite est bornée, alors est bornée, et comme nous somme en dimension finie, toute suite bronée admet au moins une valeur d'adhérence.
Est-ce rigoureux? Ou trop rapide?

On note B cette valeur d'adhérence. Il faut montrer que puis
Comment faire?

merci

[GaBuZoMeu]

Tu peux fixer un majorant pour les et en déduire un majorant pour les . C'est trivial, mais ça rassure. Et après tu peux aussi majorer en fonction de et .

[lkri]

On a alors

soit
donc est bien bornée
mais du coup, mon majorant de dépend pas de p
Si je suis votre raisonnement, il faudrait donc montrer que pour montrer que
c'est bien ça?

[GaBuZoMeu]

Tu as bien compris pour la majoration des (indépendamment de ), par contre tu n'as pas compris la suite. Je te souffle de majorer en fonction de et . Il serait peut-être bon que tu ailles voir d'un peu plus près qui est .

[lkri]

On a après une simplification télescopique
soit sauf erreur de calcul.

Comment exploiter que B est valeur d'adhérence?

[GaBuZoMeu]

Une erreur dans le calcul de : tu as oublié ce qu'il y a devant la somme !

[lkri]

Oui pardon pour l'étourderie il y a un facteur devant

Donc

[GaBuZoMeu]

Non, ça ne va pas. Que veut dire ? est un nombre.
Plus de soin, s'il te plait !

[lkri]

Comment majorer ? Ou du moins ?

[GaBuZoMeu]

Tu étais pourtant bien parti, en oubliant juste le facteur . À partir de cette expression de , il était facile de majorer la norme de cette différence en fonction de et . Ressaisis-toi et reviens dans les clous.

[lkri]

soit

[GaBuZoMeu]

est aussi supérieur ou égal à .

Maintenant, tu devrais pouvoir conclure ? N'est-ce pas ?

[lkri]

Et bien, on a alors qui tend vers 0 lorsque p tend vers l'infini (par encadrement), d'où qui tend vers
Pour faire le lien avec la valeur d'adhérence , il faut introduire une sous suite extraite, disons qui tend donc vers B.
Comme toute suite extraite tend vers la limite de la suite de base, on a ainsi

Est-ce correct?