Une matrice semblable à une matrice nilpotente

[Don vito]

Salut,
Je bloque sur cette question je vous prie bien de m'aider.

[wserdx]

Prends un vecteur du noyau de et complète pour former une base, écris dans cette nouvelle base.
Considère ensuite le polynôme minimal de .

[wserdx]

Prends un vecteur du noyau de et complète pour former une base, écris dans cette nouvelle base.
Considère ensuite le polynôme minimal de .

[Don vito]

Merci infiniment.Juste une question , lorsqu'on complete une base libre en une base incomplete on a le droit de compléter part n'importe quels éléments de notre choix de la base jusqu’à obtenir une nouvelle base, ou bien est ce que le théorème se contente de prouver l'existence ?

[alm]

Salut

Merci infiniment.Juste une question , lorsqu'on complete une base libre en une base incomplete on a le droit de compléter part n'importe quels éléments de notre choix de la base jusqu’à obtenir une nouvelle base, ou bien est ce que le théorème se contente de prouver l'existence ?

Tout d'abord, les passages : "Base libre", "Base incomplète" n'ont pas un sens clair.
Il vaut mieux parler de 'Famille libre' 'Famille libre qui n'est pas une base'

Pour la question :

Il est toujours possible de compléter une famille libre qui n'est pas une base en une base au moyen des vecteurs d'une autre famille si cette dernière est génératrice.

[Don vito]

Évidemment que ça n'a aucun sens je m'excuse :D lol ...je n'ai pas fait attention en écrivant.Je m'exprime plus clairement , je voulais dire pour processus de complétude ; si notre famille libre est F = (l1,l2...,lp), et (B1,...,Bn) une base de l'espace en question alors pour compléter F le choix est arbitraire ou bien si je choisi (Bp+1,...Bn) j'aurai bien une base.J’espère que vous comprenez ce que je veux dire.

[wserdx]

Non, le choix n'est pas arbitraire, tu ne peux pas prendre n'importe quel vecteur de la base B pour compléter F. Il faut prendre parmi les vecteurs de B ceux qui ne sont pas liés à F. Mais parmi ceux-là, tu peux prendre ceux que tu veux.

[Don vito]

Ok Merci infiniment !!!

[wserdx]

Petite précision : le choix des vecteurs doit être considéré dans leur ensemble.
Exemple : si et , tu peux choisir ou pour compléter , mais pas les deux ensemble

[Don vito]

OK merciiii

[Don vito]

Encore deux questions!
QUestion (1) :Si l'on regarde l'énoncé de l'exercice rien ne nous dit que A est d'indice de nilpotence d n'est ce pas?Car si ce n'est pas le cas on ne peut dire que A1 est d'indice de nilpotence d-1???
ils demandent après d'en déduire que
?????????????????
QUestion (2) : j'essaye de montrer que :

Pour un endomorphisme de E et une valeur propre ";)" éventuelle qui lui est associée on a :
quelque soit p appartenant à N , dim[ ker((u-;).id)^p)];);) où ordre de multiplicité de .

En bref voilà ce que j'ai fait: (u-;).id)^p commute avec u , donc ker((u-;).id)^p) est u stable.On considère une base de E qui lui soit adaptée , et notons v l'endomorphisme induit par u sur ker((u-;).id)^p)).

on donc pour tout p v-;).id)^p=0 .Donc: (v-;).id) est nilpotent.( il est non nul car sinon pour p=0 on aura E={0}.

Et la je bloque , et je regarde le corrigé et ils disent en utilisant la question (2)(justement la déduction de la question de nilpotence en haut) on a : le degres du polynome caracteristique de v-;).id est égal à la dimension de ker((u-;).id)^p)) !!!!??? je comprends pas comment.
SI W nilpotent ça implique l'indice de nilpotence = dimension de l'espace?!!biensur que non!

[wserdx]

1/ Oui, il n'y a pas de contradiction : l'ordre d'une matrice carrée est le nombre de lignes ou de colonnes. Ce n'est pas la même chose que l'indice de nilpotence

2/ J'ai du mal à faire le lien entre ce que tu écris et la question encadrée en blanc.
Deux matrice semblables ont le même polynôme caractéristique. Est-ce que ça peut t'aider ?

[Don vito]

Je retire ce que j'ai dit . :D , c'est bon tout est clair, tu as raison il n'y a aucun de problème la dessus.

En tout cas merci wserdx tu m'as été d'une grande utilité.