Topologie et matrice

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice mélangeant un peu de topologie et de matrice, mais je n'arrive pas vraiment à avancer. Si quelqu'un pourrait me donner quelques indications svp, je ne fais que partir dans tous les sens sans vraiment aboutir à quoi que ce soit.

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Soient de rang p et

1) je dois montrer qu'il existe un unique tel que :



2) je dois montrer qu'il existe un unique tel que :



et je dois comparer avec


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Pour la 1) je bloque, et je vois pas du tout comment faire, mais ça me fait beaucoup penser à un problème de topologie (au moins pour l'existence), mais j'ai du mal à voir comment bien partir.

Pour la 2) j'ai montré l'existence et l'unicité de d'un coup en remarquant que est une matrice carrée de taille p qui a même rang que A, soit p : donc elle est inversible ce qui assure l'existence et l'unicité.
En revanche je vois pas ce que je peux dire entre et

Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Doraki]

Quand tu cherches un minimum il faut automatiquement utiliser la compacité quelquepart. Donc il faut commencer par restreindre la recherche à une boule fermée, donc il faut montrer que ||AX-B|| -> l'infini quand ||X|| -> l'infini.

Prend la sphère unité de R^p. Comme elle est compacte, || AX || a un minimum m lorsque X est dans cette sphère. Ce minimum est non nul puisque A est de rang p.

Donc ||AX|| >= m ||X||, et donc dans ton problème ||AX-B|| tend vers l'infini quand ||X|| tend vers l'infini. Donc sa borne inférieure est à chercher à l'intérieur d'une boule fermée, qui est compacte.

Maintenant si le minimum est atteint en deux points distincts, disons en X1 et X2, la fonction t ->||A(tX1+(1-t)X2) - B||² est un polynôme de degré 2 qui tend vers l'infini (puisque X1-X2 est non nul) en +-l'infini, et qui aurait deux minimums en 1 et en 0, donc impossible.

[Matt_01]

Pour faire simple pour la deuxième question, essaye de calculer le gradient de la fonction g : h -> ||Ah-b||^2 (j'imagine que t'es pas censé utiliser des résultats sur les projetés orthogonaux, sinon c'est encore plus direct).

[jonses]

Merci pour vos réponses !

Quand tu cherches un minimum il faut automatiquement utiliser la compacité quelquepart. Donc il faut commencer par restreindre la recherche à une boule fermée, donc il faut montrer que ||AX-B|| -> l'infini quand ||X|| -> l'infini.

Prend la sphère unité de R^p. Comme elle est compacte, || AX || a un minimum m lorsque X est dans cette sphère. Ce minimum est non nul puisque A est de rang p.

Donc ||AX|| >= m ||X||, et donc dans ton problème ||AX-B|| tend vers l'infini quand ||X|| tend vers l'infini. Donc sa borne inférieure est à chercher à l'intérieur d'une boule fermée, qui est compacte.

Maintenant si le minimum est atteint en deux points distincts, disons en X1 et X2, la fonction t ->||A(tX1+(1-t)X2) - B|| est un polynôme de degré 2 qui tend vers l'infini (puisque X1-X2 est non nul) en +-l'infini, et qui aurait deux minimums en 1 et en 0, donc impossible.

Perso, je pense que j'aurai eu vraiment du mal à penser à tout ça (surtout pour l'unicité)

Pour faire simple pour la deuxième question, essaye de calculer le gradient de la fonction g : h -> ||Ah-b||^2 (j'imagine que t'es pas censé utiliser des résultats sur les projetés orthogonaux, sinon c'est encore plus direct).

Je vois pas pourquoi la norme serait euclidienne. L'énoncé ne précise pas si la norme est euclidienne, elle est a priori quelconque. Mais, ça reste une bonne idée à creuser. Je vais voir si je peux pas m'en inspirer

[CompuTux]

"L'énoncé ne précise pas si la norme est euclidienne, elle est a priori quelconque."

L'espace vectoriel est de dimension finie. Toutes les normes d'un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.

En espérant que cela puisse t'aider... :we:

[Matt_01]

Je vois pas pourquoi la norme serait euclidienne. L'énoncé ne précise pas si la norme est euclidienne, elle est a priori quelconque. Mais, ça reste une bonne idée à creuser. Je vais voir si je peux pas m'en inspirer

Le problème c'est que le premier résultat est faux pour certaine norme :
Si je prends p=1 et n=2 avec , pour x dans , on a , et donc, pour et en utilisant la norme infinie, ||Ax-b|| est minimale (valant 1) dés que |x|<=1.
L'argument de Doraki concernant le polynôme de degré 2 sous entendait que la norme était euclidienne (et ce serait surprenant de voir apparaître une transposée si on manipule pas du produit scalaire quelque part).

[jonses]

Après tout, je pense qu'implicitement la norme est euclidienne.

Après tout ce que vous avez dit (plus le contre-exemple), je suis convaincu que la norme est euclidienne

[paquito]

Matt a raison, si tu prends la norme euclidienne avec son exemple, le minimum est atteint de façon unique pour x=0 et si tu prend , cette fois ci c'est pour x=-1. Pour l'unicité, l'argument de Doraki ne tient plus quand le minimum est atteint sur un segment puisque pour est constant dès que et sont éléments du segment, ce qui est exactement le contre exemple donné par Matt ([-1; 1])