Topologie et fonction continue

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice de topologie, mais je bloque depuis un moment, du coup j'aurai bien besoin d'un coup de main svp.

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On considère l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] et à valeurs dans R.
On munit E d'une norme ||. || (elle n'est pas précisée dans l'exercice)

Soit

a) Je dois montrer que pour cette norme, F est soit fermé, soit dense

b) je dois montrer que les deux cas sont effectifs


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Pour la b), ce qui me bloque, c'est que je comprends pas la question : "effectifs" kézakoo ?

Sinon, là où je bloque vraiment, c'est dès la a)

J'avais essayé au début de considérer le cas où F n'est pas fermé et de montrer que est dense, mais je n'y arrive pas.

Puis je me suis dit que je pouvais essayer de voir si je pouvais montrer que F est fermé sans rien supposer d'autres, mais je bloque aussi.

Du coup, je n'avance pas depuis un bon moment.
Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Doraki]

Si F n'est pas dense alors il y a une boule B(f,r) qui n'intersecte pas F.
Donc t'as une fonction f avec f(0) <> 0 et un r tel que (||g|| < r) => (f+g)(0) <> 0
Normalement tu peux en déduire (avec la linéarité de la norme) un truc comme pour tout g, ||g|| < r => |g(0)| < |f(0)|,
puis (encore par linéarité) que |g(0)| < A * ||g|| pour tout g, où A est une constante > 0.
A partir de là c'est immédiat de montrer que le complémentaire de F est ouvert.

Pour le b) tu dois donner un exemple de norme où F est dense et un autre exemple où F est fermé.

[jonses]

Si F n'est pas dense alors il y a une boule B(f,r) qui n'intersecte pas F.
Donc t'as une fonction f avec f(0) 0 et un r tel que (||g|| (f+g)(0) 0
Normalement tu peux en déduire (avec la linéarité de la norme) un truc comme pour tout g, ||g|| |g(0)| 0.
A partir de là c'est immédiat de montrer que le complémentaire de F est ouvert.

Pour le b) tu dois donner un exemple de norme où F est dense et un autre exemple où F est fermé.

Désolé, mais je crois que j'ai pas tout suivi.
"La linéarité de la norme" ? Une norme c'est linéaire ? (||f+g||=||f|| +||g|| ?)

[zygomatique]

salut

c'est un théorème général en dimension infinie ....


F est un sous-espace vectoriel de E

soit T la forme linéaire définie par

alors F est le noyau de T

soit alors f une fonction de E et une suite d'éléments de F tendant vers f

on a donc deux cas :

F est fermé

F est dense dans E

on pose I = [0, 1]

supposons donc que F n'est pas fermé et soit e > 0

puisque les fonctions sont continues montre qu'il existe un voisinage V de 0 tel que

tu peux construire une suite (f_n) tel que pour n > N :: ||f_n - f|| 0

ce qui montre que F est dense dans E

....


dire que c'est effectif c'est donner des exemples des deux cas :: ça existe ...



ainsi par exemple on sait que l'espace vectoriels des polynômes est dense dans E

en est-il toujours de même de l'ensemble des polynômes P tels que P(0) = 0 ? (à voir) ...


....

[Doraki]

je pensais plus à ||kf|| = |k|*||f||

[mathelot]

euh,

si tu prend cos(x) avec cos(0)=1 , je ne vois pas trop comment on l'approche par des éléments de F.

iii) F n'est il pas obligatoirement fermé car le Dirac en zéro est continu pour la norme
de convergence uniforme




merci pour vos explications.

[zygomatique]

euh,

si tu prend cos(x) avec cos(0)=1 , je ne vois pas trop comment on l'approche par des éléments de F.

iii) F n'est il pas obligatoirement fermé car le Dirac en zéro est continu pour la norme
de convergence uniforme




merci pour vos explications.

oui ben peut-être que F n'est pas dense ...

REM : F = Ker T

si T est continue alors F est l'image réciproque du fermé {0} donc est fermé

...

[zygomatique]

si on prend alors T est continue et F est fermé

si on prend alors T n'est pas continue .... (rem cette norme provient d'un produit scalaire) ....

ou alors plutôt

[mathelot]

si on prend

je crois que c'est continue par CS.
E est un espace de fonctions continues

[zygomatique]

je crois que c'est continue par CS.
E est un espace de fonctions continues

effectivement probablement ...

il faudrait une norme ... plus exotique !!! ...

[mathelot]

E et F sont des espaces vectoriels. F est fermé.


montre que F n'est pas un hyperplan. g n 'est pas comparable aux polynomes.