Salut à tous, il y a un point que je n'arrive pas à éclaircir concernant la topologie que l'on met sur le dual de l'espace des fonctions continues à support compact. Plus précisément, j'expose mon problème :
On part du résultat suivant :
Soient E et F deux espaces vectoriels et
_{i \in I} , (q_j)_{j \in J})
deux familles de semi-normes de E et F respectivement.
On munit E et F de la topologie associée à ces familles de semi normes.
Soit
une application linéaire. On a équivalence entre :
 \ T\text{ est continue en } 0 \\2 \) T \text{est continue} \\3) \ \forall j \in J, \exists I_0 \subseteq I fini, \exists c> 0, \forall x \in E, q_j(T(x)) \leq c \times sup_{i \in I_0} p_i(x))
Maintenant, on considère
un ouvert de
et on note
)
l'ensemble des fonctions de
dans
de classe
à support compact que l'on munit de la topologie définie par la famille indexée par les compacts
de
et les entiers
de semi normes
définies par :
, p_{K,l}(\phi)=\sum_\overset{\alpha \in \mathbb{N}^n}{|\alpha| \leq k}} sup_{x \in K} |\partial^{\alpha} \phi(x)|.)
Enfin, on définit
)
l'ensemble des distributions, c'est à dire l'ensemble des formes linéaires continues de
muni de la topologie définie par la famille de semi normes
_{k \in \mathbb{N}})
dans
.
Dans les livres en général, il est dit qu'une application linéaire
 \to \mathbb{C})
est une distribution si et seulement si :
pour tout compact
, il existe
et
tels que :
, |<T,\phi>| \leq C_K \sum_{|\alpha| \leq l} sup_{x \in K} | \partial^{\alpha} \phi(x) |)
Ca n'a pas l'air de coïncider avec la définition de continuité entre deux espaces semi normés que j'ai donné en préliminaires ?
Merci bien.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
