Transformée de Fourier et distributions

[qlampain]

Je me permets de demander de l'aide car j'ai eu un ds il y a pas longtemps et je n'ai pas reussi à faire grand chose.
Je vous l'ai scanné ci dessous.

Pour la 1e question j'ai dit que la transformée de fourier de f était:

f^(v)= integrale de -a à 0 de exp(-2i*pi*v*t)*(1/a+t/a²)dt + integrale de 0 à a de exp(-2i*pi*v*t)*(1/a-t/a²)dt

je n'ai pas refait le calcul mais si cette ligne est bonne, le reste devrait l'être aussi, juste une integration par partie, rien de plus.


après pour calculer f' je ne sais pas comment faire, je sais qu'il faut passer par les distributions mais à part ça...

pour calculer la transformée de fourier de f' j'ai utilisé la formule: f'^(v)=2i*pi*v*f^(v)

et pour la derivée seconde on remultiplie par 2i*pi*v


pour la question 3), je ne sais pas faire le produit de convolution des deux portes.

pour la 4), je dirais que quand a tend vers 0 la porte tend vers le dirac en 0.


Pour la partie B), je vois pas bien à quoi ressemble F graphiquement.

pour la 2), je sais que la transformée de fourier d'un produit de convolution est egale au produit des deux transformées de fourier de chacunes des fonctions.

et après aucune idée.

voila ça fait énormément de questions, mais j'aimerais avancer dans de ce ds donc merci à ceux qui prendront de leur temps pour me lire et me répondre!

[fatal_error]

salut,

pour f', pas besoin de passer par la tf inverse.
f est constante sur -inf,-1/a, donc la derivee est nulle.
f est croissante sur -1/a,0, donc la derivee vaut le coeff directeur de la droite sur tout lintervalle.
Idem en opposé sur 0,1/a, puis nulle ensuite.

pour f", une fois que tu as tracé la courbe représentative de f', tu observe normalement des discontinuités sur f', cqui va traduire des dirac chez f" (une pente infinie)

jte conseille de looker la fonction de heaviside qui peut t'inspirer
pour la 2)idem on peut etre boeuf et calculer dans 'lespace des temps', cad le produit de convo
int g(t)g(t-tau)dtau
Graphiquement, tu prends ta fenetre.
T'en prends une deuxieme qui coulisse sur laxe des temps (t), et a chaque instant, tu prends l'aire 'intersection' des deux.
Ici, t'as si tau>a/2 par exemple, tas aucune intersection, et donc tas la fonction nulle.
De même en symétrique.
Faut se poser la question entre -a/2 et a/2

pour Pi, strivial si t'as fait la question d'avant.
PixPi tu as tres bien dit multiplication equivaut prod convolution

quand a tend vers 0, ca pue le dirac lol

4) tu traces delta(n2a) mettons, et tu regardes le produit de convol avec f, ca doit donner un truc style une translation...
4.2)
la transformée de f, tu connais.
la transformée d'un dirac ca doit etre une exponentielle (genre un facteur de phase)...
a partir de la on connait la Tf du produit.
Pour les séries, jsais pas. Faudrait voir la gueule du truc

pour le reste idem faudrait des résultats voir si ca colle...

[qlampain]

merci pour ta reponse!
Je vais essayer de suivre tes conseils et d'avancer!
je posterais mes resultats demain.

[qlampain]

Pour la 1) j'ai trouvé f^(v)= integrale de -a à 0 de exp(-2i*pi*v*t)*(1/a+t/a²)dt + integrale de 0 à a de exp(-2i*pi*v*t)*(1/a-t/a²)dt peut on me le confirmer?

pour f' j'ai trouvé que f'(t)=1/a² si t appartient à [-a,0]
= -1/a² si t appartient à [0,a]
et 0 en dehors.

pour f'' j'ai trouvé que c'était égale à 2/a²*dirac en 0 (j'en suis pas très sur)

pour g= le produit de convolution des deux portes j'ai trouvé que g=0 si u< -a/2 et si u>a/2.

sinon quand -a/2
pour pi^, j'ai calculé l'integrale de -a/2 à a/2 de exp(-i*pi*v*t)*1/a dt


pouvez vous me corriger car il y a des questions ou j'ai l'impression d'avoir fait n'importe quoi...

Merci d'avance!

[fatal_error]

re,

alors pour f', ok( c'est important de faire un graphique)
pour f", nan c'est possible un seul dirac, parce que t'as trois discontinuités (en -a,0 et a) donc normalement trois diracs, un en 0, un en -a et l'autre de lautre coté. Fait gaffes aux bornes ds intégrales.
Pour le 2/a^2 on est quand même daccord...

Pour le produit de convol on fixe notre rectangle sur laxe des tau.
On prends le deuxieme qu'on fait coulisser.
Le deuxieme est definit ainsi :
g(t-tau) = 1/a pour -a/2 tau > t - a/2

Donc par exemple, si t appartient à ]-inf, -a/2], alors le produit donne 0
De même de l'autre coté.
On s'intéresse donc entre les deux.
Si t+a/2 est compris entre -a/2 et a/2, ca veut dire que t'as une portion ou les deux rectangles s'intersectent.
C'est sur l'intervalle [-a/2; t+a/2]
tu as donc a intégrer sur cet intervalle l'intégrale

et tu trouves une portion du produit de convolution établie pour l'intervalle -a/2; (max(t) tel que t+a/2 < a/2 = 0 )
Apres jai envie de dire par "symétrie" pour l'autre coté...

Pour ma part jtrouve un triangle.

Alors pour Pi, jla fais plus, jannonce un sinus cardinal.

Je sais pas si t'as le temps, mais tu devrais utiliser un truc style matlab ou octave(:-) ) pour visualiser, c'est assez pratique.

[qlampain]

Merci encore pour cette réponse complète!

Pour f'' je dirais 2/a²*dirac en 0+ 1/a² dirac en -a -1/a² dirac en a.

pour ton intégrale la borne inferieure est bien -a/2? car t'as du faire une faute de frappe.

pour l'autre intégrale c'est bien l'integrale de t - a/2 à a/2 de 1/a² dtau?

enfin pour pi^ est ce que mon debut de calcul: integrale de -a/2 à a/2 de exp(-i*pi*v*t)*1/a dt permet d'arriver au sinus cardinal?

Et comment tu devines que c'est une sinus, une petite intuition?

[fatal_error]

Pour f'' je dirais 2/a²*dirac en 0+ 1/a² dirac en -a -1/a² dirac en a.

Jvais faire le lourd, mais jpense que c'est plutot 1/a^2 en -a ET a, tandis qu'en 0, c'est -2/a^2
on passe d'une horizontale positive, vers une horizontale négative, la pente est censée etre négative.

pour ton intégrale la borne inferieure est bien -a/2? car t'as du faire une faute de frappe.

exact.

pour l'autre intégrale c'est bien l'integrale de t - a/2 à a/2 de 1/a² dtau?

ué, l'autre si tu veux a tout prix la trouver, c'est pour
t-a/2 compris dans -a/2 et a/2
cad

enfin pour pi^ est ce que mon debut de calcul: integrale de -a/2 à a/2 de exp(-i*pi*v*t)*1/a dt permet d'arriver au sinus cardinal?
normalement ué, tu fais apparaitre un sinus, et apres tu bidouilles pour faire apparaitre le sinus cardinal

Et comment tu devines que c'est une sinus, une petite intuition?[/quote]
plus précisément un sinus cardinal, c'est un sinus qui "s'amortit" si on seloigne du zero sur laxe des abscisses.
c'est un truc qui revient partout, en physique, en exo (genre là),...

[qlampain]

Nous sommes d'accord pour f'' :happy2:

pour le produit de convolution des deux portes je trouve aussi un triangle, c'est celui du début.

pour la transformée de fourier de la porte, je vais essayer de bidouiller pour trouver un sinus cardinal, je sens que ça sera pas facile...

est ce que tu as une idée pour la représentation de F?
Il me semble que c'est une serie de triangle mais je ne sais pas pourquoi.

et j'ai aussi un problème pour calculer la transformée de fourier de la somme de -°° à +°° des dirac de nT. Je sais que la transformée de fourier d'un dirac vaut 1 mais la il y a une somme donc je suis un peu perdu...

Encore merci pour ton aide :we:

[fatal_error]

Il me semble que c'est une serie de triangle mais je ne sais pas pourquoi.

trs juste.
En fait si tu prends
f*dirac(1) par exemple, tu remarques que ca décale ton triangle vers la droite (comme si tu avais f(t-1).
de manière générale, im semble qu'on a f(t-t0) = f(t)*dirac(t0)

Ici, tu prends un n, mettons 1, ca te donne un triangle "centré" en T.
Ensuite, pour n =2, un triangle "centré" en 2T, et de manière générale, un truc périodique de période T...

pour les series de fourier, ca donne qqch de comfortable du coup.
Suffit de calculer les a_n et les b_n (normalement a_n suffit vu que fonction paire donc b_n nuls pour tout n).

Du coup pas besoin de passer par la TF des dirac + TF de f plus faire une multiplication dans fourier.
Mais pour l'info, si tu prends une exp de fréquence 3, ca donne un dirac(3) chez fourier.
Par analogie(...), si on prend un dirac(3) dans les temps, ca doit donner une exp de fréquence 3 chez fourier. A tester.