Topologie dans R

[legeniedesalpages]

Bonsoir, je bloque sur cet exo:

On rappelle que tout produit fini d'ensemble dénombrable est dénombrable et que tout sous-ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

Montrer que tout ouvert de (resp. fermé de ) est réunion dénombrable de fermés (resp. intersection dénombrable d'ouverts).

Donc déjà si je trouve que tout ouvert de est réunion dénombrable de fermés, il sera pas difficile d'en déduire que tout fermé de est intersection dénombrable d'ouverts.

Mais sinon je plante.

Merci pour vos indications.

[klevia]

Je sais pas si ça t'aide mais tout intervalle ouvert de IR ,par exemple ]a,b[ avec a

[ThSQ]

Les ouverts de sont bien connus (voir http://www.cmi.univ-mrs.fr/~gallouet/licence.d/int-poly.pdf p. 22 - trop bien cette doc !) : Tout ouvert non vide de R est réunion au plus denombrable d'intervalles ouverts bornés.

Et comme l'a dit klevia tout intervalle ouvert est réunion dénombrable de fermés.

[barbu23]

Salut "legeniedesalpages" :
Si j'ai un peu de temps demain, Je te posterai la demonstration toute entière de cet exo.. on a fait ça en cours .. mais je me rappelle pas comment ... j'ai pas le cahier ici ... En fait , on considère un ouvert de et une relation d'équivalence tel que : : ou .Ensuite on montre que les classes d'équivalences sont exactement les intervalles ouverts ... et donc est la reunion denombrable de ces classes d'equivalences ... bon quelques choses comme ça !! je vais t'expliquer ça en detail demain si dieu veut .. !!
Bonne nuit !!

[barbu23]

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[Daniel-Jackson]

Je pense que en considérant les composantes connexes de ton ouvert on s'en sort. En fait c'est exactement ce que barbu23 te dit, les composantes connexes sont les intervalles ouverts et maintenant il suffit juste de montrer qu'il sont dénombrables et ça c'est facile , il suffit de considérer un rationnel entre deux composantes connexes consécutifs (le mot consécutif a un sens car R est ordonné et 2 composantes connexes différentes sont nécessairement disjointe disjointes) et le tour est joué . Je pense qu'on s'en sort comme ça en bidouillant un peu.

Oh et les somposantes connexes sont les intervalles ouverts hein :we:

[legeniedesalpages]

ok merci pour vos réponses.

Pour la réponse de ThSQ, c'est bon j'ai compris.

Sinon pour l'autre méthode, si je comprends bien, on procède comme ça:

On reprend la relation d'équivalence de barbu,

1) On montre que quelque soit , on a est un intervalle ouvert non vide inclus dans .

2) On montre ensuite que quelque soit , est non vide, ie qu'il existe , et donc .

On en déduit ensuite que , donc réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts non vide.

Et donc comme a dit ThSQ, on en déduit aisément que c'est finalement une réunion dénombrable d'intervalles fermés.

Je vais creuser ça un peu plus.

[legeniedesalpages]

ok, c'est bon j'ai réussi faire avec cette méthode aussi.
Merci pour vos indications.