[MPSI]

[Anonyme]

Bonjour,

Dans la démonstration de la dénombrabilité des nombres algébriques,
je rencontre cette propriété :

Toute réunion dénombrable d'ensemble finis est dénombrable.

Comment la montre-t-on ?
Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Salut

> Dans la démonstration de la dénombrabilité des nombres algébriques,
> je rencontre cette propriété :
>
> Toute réunion dénombrable d'ensemble finis est dénombrable.
>
> Comment la montre-t-on ?
> Merci.

En fait toute réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est
dénombrable... bon pour la preuve ça dépend un peu de ce que tu as comme
connaissances... par exemple une fois démontrée la dénombrabilité de N x N
(exo classique, et c'est du cours de sup), si on note la réunion U A_i (on
peut supposer la somme disjointe, car ...), i dans I dénombrable, alors il
existe f bijective de I sur N, et pour tout A_i, il existe g_i bijective de
A_i sur N (bon faut adapter la preuve si A_i est fini, mais c'est pareil);
la fonction: u: U A_i -> NxN définie par u(a) = (f(a),g(a)) est bijective.
NxN dénombrable, donc la réunion est dénombrable.

--
Julien Santini

[Anonyme]

Tiens, en passant, je fais remarquer que ce résultat utilise l'axiome
du choix. (Enfin, seulement l'axiome du choix dénombrable, mais bon).

--
Xavier, que par exemple, sans AC, une clôture algébrique de Q peut
être indénombrable, alors qu'elle est toujours une union dénombrable
d'ensembles dénombrables.

[Anonyme]

caruso@clipper.ens.fr (Xavier Caruso) writes:

> Xavier, que par exemple, sans AC, une clôture algébrique de Q peut
> être indénombrable, alors qu'elle est toujours une union dénombrable
> d'ensembles dénombrables.

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire. On peut construire
explicitement la clôture algébrique de Q, et énumérer ses éléments (je
veux dire très concrètement, de façon récursive).

Là où l'axiome du choix devient crucial, c'est pour montrer l'unicité
de la clôture algébrique.

[Anonyme]

un.gabacho.sans.pourrier@free.fr, dans le message
(fr.education.entraide.maths:50172), a écrit :
> Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire. On peut construire
> explicitement la clôture algébrique de Q, et énumérer ses éléments (je
> veux dire très concrètement, de façon récursive).

Oui.

> Là où l'axiome du choix devient crucial, c'est pour montrer l'unicité
> de la clôture algébrique.

Oui. Et ?

On peut également montrer sans l'axiome du choix que toutes les clotures
algébriques dénombrables de Q sont isomorphes entre elles. Seulement,
sans l'axiome du choix, il peut exister des clôtures algébriques
indénombrables. Or de façon générale, une clôture s'écrit toujours comme
réunion des extensions finies ; et ici, les extension finies sont
dénombrables (même sans AC je veux dire) et le nombre d'extensions
finis aussi puisqu'il est majoré par le nombre de polynômes.

--
Xavier, que si vous voulez, vous pouvez remplacer Q par un corps fini ;
on obtient alors un ensemble indénombrable, union dénombrable d'ensembles
finis.

[Anonyme]

caruso@clipper.ens.fr (Xavier Caruso) writes:

> un.gabacho.sans.pourrier@free.fr, dans le message
> (fr.education.entraide.maths:50172), a écrit :[color=green]
> > Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire. On peut construire
> > explicitement la clôture algébrique de Q, et énumérer ses éléments (je
> > veux dire très concrètement, de façon récursive).
>
> Oui.
>
> > Là où l'axiome du choix devient crucial, c'est pour montrer l'unicité
> > de la clôture algébrique.
>
> Oui. Et ?[/color]

Pourquoi « et ? » ?

J'ai l'impression que tu veux dire par là que ma remarque n'a rien à
voir avec la question ? Je suis désolé de t'avoir paru si peu
pertinent, si c'est le cas.

> On peut également montrer sans l'axiome du choix que toutes les clotures
> algébriques dénombrables de Q sont isomorphes entre elles.

J'ai eu du mal au premier abord avec cette affirmation, mais ça y est,
je vois ce qui se passe. Plus besoin de choix pour choisir une racine
de f, en effet, on prend la première dans l'énumération donnée.

> Seulement,
> sans l'axiome du choix, il peut exister des clôtures algébriques
> indénombrables.

D'accord. Ça n'est pas ce que j'avais compris la première fois. Je
pensais que tu voulais dire que sans le choix, il était impossible de
trouver une clôture algébrique dénombrable.

Contresens naïf : j'espère que tu auras l'immense bonté de me le
pardonner.

[Anonyme]

un.gabacho.sans.pourrier@free.fr, dans le message
(fr.education.entraide.maths:50187), a écrit :[color=green]
>> Oui. Et ?
>
> Pourquoi « et ? » ?
>
> J'ai l'impression que tu veux dire par là que ma remarque n'a rien à
> voir avec la question ?[/color]

« rien à voir », c'est beaucoup dire... je voulais juste dire qu'elle
n'était pas du tout en contradiction avec ce que j'avançais. Et pour
le fait, les deux étaient justes.

> J'ai eu du mal au premier abord avec cette affirmation, mais ça y est,
> je vois ce qui se passe. Plus besoin de choix pour choisir une racine
> de f, en effet, on prend la première dans l'énumération donnée.

Exactement.

> D'accord. Ça n'est pas ce que j'avais compris la première fois. Je
> pensais que tu voulais dire que sans le choix, il était impossible de
> trouver une clôture algébrique dénombrable.

Ah d'accord. Effectivement, c'est pas ce que je voulais dire.

> Contresens naïf : j'espère que tu auras l'immense bonté de me le
> pardonner.

Hmmm... bon soit .