Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

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Yezu
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Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

par Yezu » 29 Juin 2018, 01:51

Bonsoir à tous,

Je me fait un bouquin d'analyse cet été, ainsi; je me posais une petite question par rapport à un corollaire du théorème de Rolle.

Soit continue sur telle que et existe pour tout .
Si et sont deux zéros consécutifs de sur , il existe au plus un zéro de sur .

Je n'arrive vraiment pas à comprendre le lien avec le théorème de Rolle, et je ne vois pas d'interprétation géométrique pertinente (contrairement au théorème en lui-même).

Merci d'avance aux personnes qui prendront de leur temps pour me formuler une réponse (probablement évidente mais que je n'arrive pas à voir).



Elias
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Re: Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

par Elias » 29 Juin 2018, 02:04

Salut,

Si t'as par exemple deux zéros différents de f sur ]x1,x2[ que j'appelle C et D (avec )

Comme f(C) = f(D) (puisque tous deux égaux à 0), alors d'apres Rolle, t'as l'existence d'un E dans ]C,D[ tel que f'(E)=0

En particulier, E est compris strictement entre x1 et x2 et ça contredit le fait que x1 et x2 sont deux zéros consécutifs de f'.

Géométriquement, tu peux te dire que si t'as par exemple un maximum en x1 et un minimim en x2 (des zéros de f '), alors il n'est pas possible que entre x1 et x2, f traverse deux fois l'axe des abscisses (car y'aurait un petit extremum local qui viendrait se greffer et donc un zéro supplémentaire de f ' alors qu'il n'est censé y en avoir aucun autre entre x1 et x2)

Ps: l'hypothèse f(a)=f(b) ne sert a rien ici.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

Yezu
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Re: Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

par Yezu » 29 Juin 2018, 02:33

Merci beaucoup Elias, j'ai bien compris !

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Ben314
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Re: Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

par Ben314 » 29 Juin 2018, 15:44

Salut,

Il y a aussi une autre façon de démontrer le résultat en commençant par montrer que, lorsqu'une fonction est dérivable sur un intervalle, sa dérivée n'est pas forcément continue, mais par contre elle vérifie forcément le théorème des valeur intermédiaires. La preuve est très similaire à celle du théorème de Rolles : on commence par montrer que, si x1<x2 avec f'(x1)<0<f'(x2) alors le minimum de f sur [x1,x2] (qu'on sait exister) ne peut être ni x1 ni x2 et on en déduit que ce minimum est un certain c de ]x1,x2[ puis que f'(c)=0. Ensuite, en remplaçant f(x) par f(x)-a.x pour un a fixé, on en déduit que, si f'(x1)<a<f'(x2) alors il existe un c de ]x1,x2[ tel que f'(c)=a.

Une fois que ce truc est vu, ça signifie en particulier qu'une dérivée ne peut pas changer de signe sur un intervalle sans s’annuler et donc qu'entre deux zéros consécutifs de la dérivée, cette dernière reste de signe constant donc la fonction est monotone donc injective.

Attention par contre au fait que "deux zéros consécutifs", ça peut plus ou moins ne pas exister dans le ses qu'il est possible qu'un zéro de la dérivée n'admette pas de "suivant" vu qu'on peut en trouver des aussi proche qu'on veut de celui de départ.
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Yezu
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Re: Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

par Yezu » 02 Juil 2018, 11:06

Merci beaucoup Ben, c'est seulement maintenant que j'ai vu ton message, désolé du retard !

Je ne comprends juste pas comment tu obtiens cette inégalité : f'(x1) < 0 < f'(x2).

Merci d'avance de m'éclairer !

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Ben314
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Re: Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

par Ben314 » 03 Juil 2018, 00:51

Ben314 a écrit:...montrer que, si x1<x2 avec f'(x1)<0<f'(x2) alors ...
Le mot "si" en Français, il désigne ce qu'on appelle "une conditionnelle"., donc le f'(x1)<0<f'(x2) c'est pas un truc que "j'obtiens", mais un truc que je suppose. Le but, comme c'est écrit précédemment, c'est de montrer que f' possède la propriété de la valeur intermédiaire, c'est à dire que, si f'(x1)<a<f'(x2) alors il existe un entre x1 et x2 tel que f'(c)=a. Et je commence par montrer que c'est vrai dans le cas particulier où a=0 : si f'(x1)<0<f'(x2) alors il existe un entre x1 et x2 tel que f'(c)=0.
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Yezu
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Re: Théorème de Rolle et zéros d'une fonction

par Yezu » 03 Juil 2018, 04:43

J'y vois plus clair.

Merci encore !

 

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