Salut,
Il y a aussi une autre façon de démontrer le résultat en commençant par montrer que, lorsqu'une fonction est dérivable sur un intervalle, sa dérivée n'est pas forcément continue, mais par contre elle vérifie forcément le théorème des valeur intermédiaires. La preuve est très similaire à celle du théorème de Rolles : on commence par montrer que, si x1<x2 avec f'(x1)<0<f'(x2) alors le minimum de f sur [x1,x2] (qu'on sait exister) ne peut être ni x1 ni x2 et on en déduit que ce minimum est un certain c de ]x1,x2[ puis que f'(c)=0. Ensuite, en remplaçant f(x) par f(x)-a.x pour un a fixé, on en déduit que, si f'(x1)<a<f'(x2) alors il existe un c de ]x1,x2[ tel que f'(c)=a.
Une fois que ce truc est vu, ça signifie en particulier qu'une dérivée ne peut pas changer de signe sur un intervalle sans s’annuler et donc qu'entre deux zéros consécutifs de la dérivée, cette dernière reste de signe constant donc la fonction est monotone donc injective.
Attention par contre au fait que "deux zéros consécutifs", ça peut plus ou moins ne pas exister dans le ses qu'il est possible qu'un zéro de la dérivée n'admette pas de "suivant" vu qu'on peut en trouver des aussi proche qu'on veut de celui de départ.
