Fonction et théorème de Rolle en ECS1

[Ragnar]

Bonjour, l'autre jour en colle j'ai eu à démontrer, le théorème de Rolle, pas de problèmes, ca marche.
Mais quand vient l'exercice, c'est un peu plus compliqué et je n'ai pas réussi à le finir si bien que je dois le finir à la maison.

L'énoncé:
Soit f dérivable sur R*+
Supposons que f admette n>= 2 zéros c'est-à-dire n réels pour lesquels f(x)=0
Soit alpha appartenant à R, considérons g(x)=alpha*f(x)+f'(x)
Montrer que g admette au moins n zéros.

Alors, j'ai tout d'abord commencé à montrer le cas ou alpha=0:
Comme, on a 0=x1Ainsi, on a : g(c)=0*f(c)+f'(c)=0

Mais pour élargir ce résultat pour alpha réél arrivent les problèmes, en raisonnant de la même manière avec Rolle, rien ne m'assure que f(c)=0 ?
Si vous pouvez m'indiquer si je suis en bonne voie, je suis preneur :)
Merci !

[zygomatique]

salut

je ne comprends pas ton énoncé ....

tu dis :

Supposons que f admette n>= 2 zéros

tu demandes :

Montrer que f admet au moins n zéros

si f admet n zéros alors elle admet au moins n zéros ....

[MouLou]

Deja C'est faux pour alpha=0. Avec Rolle, tu vas montrer que g admet au moins n-1 zéros, mais pas n.

[Ragnar]

salut

je ne comprends pas ton énoncé ....

tu dis :

tu demandes :

si f admet n zéros alors elle admet au moins n zéros ....

Oups, my bad, c'est montrer que g admet n zéros, je corrige ca !

[nodjim]

Montrer que g(x) admet...

[Ragnar]

Vraiment ? Le prof m'a dis que ca pouvait être une bonne idée.
Du coup, ca sert à quelque chose de différencier les cas?

[MouLou]

J'en sais rien, c'est peut etre une bonne idée, mais pour moi l'énoncé est faux puisque pour alpha=0, g n'a que n-1 zéros

[Ragnar]

Avec alpha un réel quelconque, on arrive à n solutions? Je n'arrive pas à voir pourquoi on a que n-1 solutions avec alpha=0 :/

[MouLou]

Deja voila un exercice d'application directe de Rolle: si f est dérivable et s'annule n fois, alors sa dérivée s'annule au moins n-1 fois. (mais en aucun cas tu montreras qu'elle s'annule n fois).

[zygomatique]

et encore ... si f' est continue ....

[Ragnar]

Deja voila un exercice d'application directe de Rolle: si f est dérivable et s'annule n fois, alors sa dérivée s'annule au moins n-1 fois. (mais en aucun cas tu montreras qu'elle s'annule n fois).

Notons x0<x1<..<xn, on peut appliquer Rolle sur [xi;xi+1] car f est continue sur cet intervalle et dérivable sur ]xi;xi+1[ et f(xi)=f(xi+1)=0
Par le théorème de Rolle, il existe c1 < x1 < c2 < · · · < xn;)1 < cn, les c1, . . . , cn sont deux à deux distincts.
Ainsi f' s'annule au moins n-1 fois.
C'est bon ca déjà?

[Kolis]

Notons x0<x1<..<xn, on peut appliquer Rolle sur [xi;xi+1] car f est continue sur cet intervalle et dérivable sur ]xi;xi+1[ et f(xi)=f(xi+1)=0
Par le théorème de Rolle, il existe c1 < x1 < c2 < · · · < xn;)1 < cn, les c1, . . . , cn sont deux à deux distincts.
Ainsi f' s'annule au moins n fois.
C'est bon ca déjà?

Tu utilises valeurs de

[Kolis]

et encore ... si f' est continue ....

Aucun besoin de la continuité de pour utiliser le théorème de Rolle !

[Ragnar]

Tu utilises valeurs de

J'ai corrigé n par n-1 du coup dans mon message précédent :lol3:

[Ragnar]

Du coup j'ai réussi à répondre à a question "montrer que g admette au moins n-1 zéro", je pense qu'il y vraiment une erreur d'énoncé, je l'ai mentionné dans mon exercice.
Merci beaucoup à tous :)