Theoreme de Rolle

[jaysean02]

Bonjour a tous,je suis etudiant en 1er année de license de phisique chimie science pour l'ingénieur et pour conclure ce premier semestre nous devons traiter un sujet de communication scientifique.Mon sujet est exposer quelques généralisation du théoréme de Rolle:cas d'une fonction définie sur une intervalle borné et ouvert,fermé et non borné... Le probléme c'est que ce la premiére fois que je vois le théoréme en question et je ne le maitrise pas totalement.Si quelqu'un pourrai me donner quelque petit conseil sur l'etablissement d'un sujet de communication scientifique ainsi qu'un petit coup de main pour bien comprendre le theoreme de Rolle je lui serai trés reconnaissant et je doit rendre mon devoir pour le 23/01 alors faite vite s'il-vous-plait je vous remercie d'avance

[yos]

Rolle généralisé à .
Soit continue sur et dérivable sur . On suppose que . Alors il existe un réel c>a tel que f'(c)=0.

Démonstration.
Si f est constante c'est trivial.
Sinon soit b>a tel que .
Supposons par exemple f(b)>f(a).
On pose .
On applique le théorème des valeurs intermédiaires sur [a,b] : m=f(u).
De même on peut l'appliquer sur . En effet , donc il existe un réel e > b tel que f(e) b tel que f(v)=m.

On a donc u<v et f(u)=f(v). On peut appliquer le théorème de Rolle f'(c)=0 pour un réel c de [u,v].

[jaysean02]

merci a toi,mais le vrai probléme reste les 12 pages que je doit faire pour commenter ca

[Anonyme]

Change de sujet, pcq Rolle c' est limité. A moins de dire d' où vient Rolle, i.e l' image d' un segment par une fct continue est un segment (et le montré). Que sur C, Rolle est faux, tt comme le TAF alors que l' IAF est encore vraie.

[yos]

Il y a un exercice facile et classique qui se fait avec Rolle :

Soit P(X) un polynôme réel. Prouver que léquation P(x)=e^x ne peut avoir qu'un nombre fini de solutions.

Tu as la même chose avec P(x)=cosx.

[bdupont]

Salut jaysean02

Pour ton papier tu pourrais t'inspirer de la thèse de Jean Dieudonné, un peu ancienne mais vu l'aura de l'auteur ça devrait passer.

Pour mémoire :
Recherches sur quelques problèmes relatifs aux polynomes et aux fonctions bornées d'une variable complexe. Paris, Gauthier-Villars, 1931

Je crois me souvenir qu'un chapitre traite de la généralisation du théorème de Rolle aux fonctions à variables complexes.

[yos]

Salut BDdupont

La thèse de Dieudonné... hum hum . Rien que ça?

Je peux affirmer sans risque de me tromper que tu ne trouveras pas une goutte accessible au niveau licence là-dedans.

Plus basique sur le sujet que tu évoques, il y a le théorème de Gauss-Lucas qui dit que les racines de P'(z) sont dans l'enveloppe convexe des racines de
P(z). Dans R c'est bien un cas particulier de Rolle qui dit qu'entre deux racines de P(x), il y a une racine de P'(x).