Théorème de rolle

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christian78
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théorème de rolle

par christian78 » 29 Jan 2009, 00:38

Quelq'un peu t'il m'aider?
je dois prouver que:
soit f:[a,b]->R une application.On suppose f de classe C² et 3 fois dérivable sur ]a,b[ Montez que :

il existe c€]a,b[ tq f(b)=f(a)+(b-a)[(f'(a)+f'(b))/2)]-[(b-a)^3/12]*f '''(c)

merci d'avance



Lemniscate
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par Lemniscate » 29 Jan 2009, 00:57

Salut,

Je ne sais pas résoudre mais ca me fait penser fortement aux formules de Taylor ! Bon après j'arrive pas à m'en servir ici...

Sinon le théorème de Rolle sur R, c'est f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,
b[ ET f(a)=f(b) alors .

Dans ton exo il manquerait pas une hypothèse du coup ? (genre la fonction ou une de ses dérivées s'annule qq part ) ???

A plus

EDIT : Ou peut-être que ton truc utilise le Th. des accroissements finis appliqué à f'' ? D'où la puissance 3 de (b-a) à la fin et l'absence de f'' dans la fomule

XENSECP
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par XENSECP » 29 Jan 2009, 00:59

Hum c'est un exo super classique... à condition de poser la bonne fonction auxiliaire que je cherche actuellement :) (car ça fait longtemps que je fais plus ce type d'exo :P)

Lemniscate
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par Lemniscate » 29 Jan 2009, 01:13

Bon je sais pas si ca peut aider mais :
si j'écris
f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+[(b-a)²/2]f''(a) (1)
et
f(a)=f(b)-(b-a)f'(b)+[(b-a)²/2]f''(b) (2)

(1)-(2) donne
f(b)=f(a)+[(b-a)/2](f'(a)+f'(b))+[(b-a)²/4](f''(a)-f''(b))

Après j'applique le TAF sur ]a,b[ à la fonction 3f'', ca me donne le résultat...

Après ai-je le droit d'écrire (1) et (2) ???

christian78
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par christian78 » 29 Jan 2009, 01:22

Lemniscate a écrit:Dans ton exo il manquerait pas une hypothèse du coup ? (genre la fonction ou une de ses dérivées s'annule qq part ) ???


il ne manque rien j'ai mis exactement l'enoncé qu'on me donne ilme bloque complètement cet exo !!! :mur:

Lemniscate
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par Lemniscate » 29 Jan 2009, 01:25

christian78, que penses tu de ce que j'ai fait plus haut ? On tombe sur le bon résultat quand même ! je trouve ca bizarre... Mais peut être que la formule de Taylor Laplace sert ?

Qu'en penses tu ?

christian78
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par christian78 » 29 Jan 2009, 01:33

je ne sais pas trop c'est peut etre ca mais le prof ce matin a conseillé de se servir du théorème de rolle mais bon après tout tous les chemins mennent a rome ! celui ci peut etre a la solution du pb !!!

Lemniscate
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par Lemniscate » 29 Jan 2009, 01:38

Ok je crois que je viens de comprendre !

En fait le TAF (théorème des accroissements finis) est une conséquence directe du théorème de Rolle (Pour le démontrer on pose une "bonne" fonction g qui vaut la même valeur en 2 points (ici a et b) et on lui applique Rolle).

Essaye ce procédé avec ton exercice. Pose une fonction g définie grâce à f, qui s'annule (ou prend une valeur non nulle mais la même en a et b) en a et b, telle que quand tu applique rolle, tu obtiens g'(c)=f'''(c)*constante(dépendant de a,b,f,f').

Bonne chance!

PS : Connais tu le TAF ? sa démonstration ?

EDIT : j'ai changé g'''(c) en g'(c) ! C'est quand même mieux !

christian78
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par christian78 » 29 Jan 2009, 01:39

ok merci je vais essayer tout ca
a bientot ^^

ThSQ
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par ThSQ » 29 Jan 2009, 19:27

Lemniscate a écrit:Après ai-je le droit d'écrire (1) et (2) ???


Pas trop pour moi

ThSQ
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par ThSQ » 29 Jan 2009, 19:32

C'est toujours le même principe sauf qu'ici il semble qu'il faille Roller deux fois.


avec C choisi tel que g(b) = 0.

Rock sur [a,b] : il existe d tel que g'(d) = 0
Rolle sur [a,d] (g'(a)=0) : il existe c tel que g''(c) = 0
Mézalor C = f'''(c) :badking:

Lemniscate
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par Lemniscate » 29 Jan 2009, 21:47

Ceci est un post à caractère ludique :

ThSQ a écrit:Rock Rolle


Mdr ! Je ne la connaissais pas celle-là ! Mon prof de sup était pourtant un adepte du calembour ! A quand le théorème du filet de hareng mariné et roulé !

Bye !

 

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