Théorème de Rolle et des accroissement finis

[MPCIE23]

Bonjour,

Je suis en galère, je suis en première année de maths et je n'ai pas eu mon année donc direction les rattrapages, en me remettant dans mes cours je me suis rendu compte que je ne comprenais pas les deux théorèmes suivant :

Le Théorème de Rolle :
Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Si f(a) = f(b) alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que f'(c)=0

Le théorème des accroissements finis :
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Il existe c appartenant à ]a,b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b-a).

Pour commencer à quel moment utilise t'on ces deux théorèmes ? Auriez-vous un exercice type résolu à me proposer pour mieux comprendre ?

Je vous remercie par avance pour votre aide.

[Lostounet]

Le Théorème de Rolle :
Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Si f(a) = f(b) alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que f'(c)=0

Bonjour,

Pour te souvenir du théorème de Rolle si tu as du mal, rappelle-toi du théorème qui Roule. En effet, imagine-toi une voiture qui roule sur une colline.




Tu observes son altitude/hauteur au temps a (admettons 10 mètres). Et puis tu observes son altitude quelques minutes plus tard, au temps b et tu constates qu'elle est revenue à la même altitude.
Conclusion: tu peux déduire que forcément, la voiture s'est arrêtée un peu (pour un bref instant sur la colline) pour redescendre !

Ce constat simple est formalisé par le théorème de Rolle: si tu as une fonction f continue sur [a ; b], dérivable sur ]a;b[ tel que f(a) = f(b) alors forcément en un certain point c de ]a ; b[, la fonction s'arrête (ie elle ne varie plus, ie f'(c) = 0, ie on a une tangente horizontale !).

J'espère que ce thm est devenu plus clair.
Questions: En utilisant l'analogie de la voiture, pourquoi a-t-on besoin de f dérivable ? de f continue?
Le point "c" est-il unique? Ou puis-je m'arrêter plusieurs fois?

[MPCIE23]

Merci pour votre réponse, clairement oui je comprend le fait que forcément la voiture s'est arrêtée mais le rapport avec la dérivabilité et la continuité je ne vois pas du tout.
Auriez-vous une réponse pour le théorème des accroissements finis ?

[MPCIE23]

A quel moment dans un exercice on sort le théorème de Rolle, c'est ça que j'ai du mal à comprendre

[Lostounet]

Merci pour votre réponse, clairement oui je comprend le fait que forcément la voiture s'est arrêtée mais le rapport avec la dérivabilité et la continuité je ne vois pas du tout.
Auriez-vous une réponse pour le théorème des accroissements finis ?

Mais juste avant, que veux dire pour toi une fonction continue?
Dérivable?

[MPCIE23]

Une fonction continue c'est une "courbe" qui ne s'arrête pas, on prouve la continuité en calculant la limite ?
Et une fonction est dérivable si elle est continue ..

[Lostounet]

A quel moment dans un exercice on sort le théorème de Rolle, c'est ça que j'ai du mal à comprendre

Ben.. c'est pas facile de répondre à cette question. Si on a besoin de prouver qu'une dérivée s'annule sur un intervalle, on peut y avoir recours.

Par exemple si tu as un polynôme P à 3 racines réelles de degré 3, tu peux tirer quelques informations sur les racines de P' (mais il faut être précis.. tu as vu un tel exo qui parle de ça?)

[Lostounet]

Et une fonction est dérivable si elle est continue ..

Attention il faut te sortir ça de la tête maintenant! Une fonction continue n'est pas forcément dérivable.

Dérivable implique continue et pas l'inverse!
Il faut que tu revois cette définition.. c'est important.

[aviateur]

Bizarre 2 fois que j'envoie mes messages et puis rien???
Je recommence dc. ok pour les explications . pour les applications c'est hyper utile.
mais un exemple tout bête

p(x)=(x-1)(x-2)(x-3) admet 3 racines et par Rolle p'(x) admet 2racines ds ]1,2[ puis ]2,3[

[MPCIE23]

J'ai retrouvé un exercice où nous avions utilisé ce théorème.
Soit P(x) un polynôme admettant exactement n racines distinctes. Montrer que P'(x) admet au moins n-1 racines distinctes. Donner un encadrement de ces racines en fonction de celles de P. Qu'en est-il si P est de degré n ?

[MPCIE23]

Bizarre 2 fois que j'envoie mes messages et puis rien???
Je recommence dc. ok pour les explications . pour les applications c'est hyper utile.
mais un exemple tout bête

p(x)=(x-1)(x-2)(x-3) admet 3 racines et par Rolle p'(x) admet 2racines ds ]1,2[ puis ]2,3[

D'accord, j'ai du mal à voir comment Rolle prouve ça

(désolé j'ai vraiment des difficultés)

[Lostounet]

D'accord, j'ai du mal à voir comment Rolle prouve ça

(désolé j'ai vraiment des difficultés)

Ce n'est pas grave si tu as des difficultés, on va t'expliquer..
Regarde la courbe p(x):


Tu vois bien que la voiture revient aux racines 3 fois. Donc il faut qu'elle s'arrête sur les deux bosses (au moins). Ce qui veut dire que... P'(x) qui est la pente de la tangente en tout point de la courbe de P est nul en au moins deux points...

[MPCIE23]

Je pense que ça y'est je commence à comprendre, merci beaucoup, je m'arrête là pour ce soir et j'essaye demain de refaire des exos.
Merci pour votre aide et votre temps

[MPCIE23]

Concernant ma demande sur le théorème des accroissements finis, je viens de retrouver un exercice :

Montrer à l'aide du TAF que :
ln(x) <= x-1 pour tout x > 0

Voici la résolution :

Pour commencer les hypothèses de TAF sont satisfaites (dérivable et continue)
On a donc : ( ln(x)-ln(1) ) / (x-1) = f'(c)
et là dans la correction il y a d'écrit : ou encore ln(x) = (x-1)/c

Savez vous comment nous passons de f'(c) de c ?

Merci par avance

[Mimosa]

Bonjour

Si , on a

[MPCIE23]

Bonjour

Si , on a

Ah oui !!!
Merci beaucoup

[Lostounet]

Concernant ma demande sur le théorème des accroissements finis, je viens de retrouver un exercice :

Montrer à l'aide du TAF que :
ln(x) <= x-1 pour tout x > 0

Voici la résolution :

Pour commencer les hypothèses de TAF sont satisfaites (dérivable et continue)
On a donc : ( ln(x)-ln(1) ) / (x-1) = f'(c)
et là dans la correction il y a d'écrit : ou encore ln(x) = (x-1)/c

Savez vous comment nous passons de f'(c) de c ?

Merci par avance

Salut,

Dire qu'une fonction est continue ou dérivable tout court n'a pas de sens... Il faut toujours dire sur quel intervalle on travaille!

En plus ici, est-ce le théorème des accroissements finis qui est utilisé ou l'inégalité des accroissements finis? Sur quel intervalle ?