Theoreme des valeurs intermediaires

[Anonyme]

Bonjour,


J'aimerais étendre le théorème es valeurs intermédiaires a des intervalles du types ]-oo,a] et [a,+oo[ mais je n'arrive pas bien que ça soit assez intuitif.


Merci

[barbu23]

Le théorème des valeurs intermediaires est verifiée sur signifie qu'il est verifié : sur quelque soit

[Olympus]

Salut !

L'idée est d'utiliser la définition de la limite .

Supposons que est continue sur , que .

Les autres cas peuvent être traités de la même manière .

[Anonyme]

J'ai compris la méthode d'Olympus mais pas celle de barbu. Si l’idée est de faire tendre b a l'infini je ne vois pas pourquoi passer aux intervalles ouverts.

Pourrais tu développer ta demo ? Ça m'interesse puisqu'elle m’évite de considérer n cas particulier.

[euler21]

Salut
je pense que la méthode de barbu est de considérer tout simplement que ces deux types d'intervalles sont homéomorphes (en bijection continue)
pour cela, il suffit de considérer la fonction arctan qui prouve que R est homéomorphe à un intervalle ouvert fini.

[benekire2]

Salut Qmath , en fait le théorème des valeurs intermédiaires te dit que une fonction continue transforme un intervalle en un intervalle.

PS. L'énoncé du TVI que j'ai dit :

Soit f une fonction continue de I dans R (a noter que ici I peut très bien être de la forme [a,+oo] ) alors pour tout (a,b)€I² et pour tout k'€[f(a),f(b)] il existe au moins un k€I tel que f(k)=k'

Là où ce théorème mérite de s'étendre c'est dans le cas par exemple où notre intervalle est ]a,b[ et que par exemple lim_a f=1 et lim_b f=+oo alors ce serait intéressant de montrer que f(]a,b[)=]1,+oo[ (montrer ça c'est montrer les TVI dans ce cas précis en fait. )

[benekire2]

Salut
je pense que la méthode de barbu est de considérer tout simplement que ces deux types d'intervalles sont homéomorphes (en bijection continue)
pour cela, il suffit de considérer la fonction arctan qui prouve que R est homéomorphe à un intervalle ouvert fini.

Salut Euler ;

Bah je pense que il a tout simplement voulu dire que si le TVI marche sur [a,oo[ c'est qu'il marche sur [a,b[ pour tout b>a ; cela dit je pense que la question de Qmath a une réponse toute faite : Elle est dans l'énoncé du TVI.

[Olympus]

Justement, je pense que l'énoncé qu'a Qmath ( tout comme moi d'ailleurs ) contient plutôt à la place du . Notre prof nous avait aussi dit que les autres versions étaient hors-programme ( mais que les exercices l'utilisant ne le sont pas, pour la simple raison qu'on peut toujours les résoudre avec nos outils ) .

[Anonyme]

Salut Qmath , en fait le théorème des valeurs intermédiaires te dit que une fonction continue transforme un intervalle en un intervalle.

PS. L'énoncé du TVI que j'ai dit :

Soit f une fonction continue de I dans R (a noter que ici I peut très bien être de la forme [a,+oo] ) alors pour tout (a,b)€I² et pour tout k'€[f(a),f(b)] il existe au moins un k€I tel que f(k)=k'

Là où ce théorème mérite de s'étendre c'est dans le cas par exemple où notre intervalle est ]a,b[ et que par exemple lim_a f=1 et lim_b f=+oo alors ce serait intéressant de montrer que f(]a,b[)=]1,+oo[ (montrer ça c'est montrer les TVI dans ce cas précis en fait. )

Personnellement je prends l’énoncé suivant :http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_valeurs_interm%C3%A9diaires

Et je le démontre par dichotomie, chose que je ne peux pas faire avec ton énoncé. Comment le démontres tu ?

[Doraki]

Il le démontre en appliquant le TVI sur l'intervalle [a;b]

[benekire2]

Bah c'est du pareil au même on ne montre le TVI que sur [a,b] mais comme les a et b sont arbitraires dans notre intervalle I ... ça change pas gras ..

[Anonyme]

J'ai pas compris.
Appliquer le TVI sur [a,b] pour montrer le TVI :briques:

[benekire2]

lol montrer le TVI sur n'importe quel [a,b] inclus dans I c'est pas pareil que de le montrer sur tout I ?

EDIT. Visiblement j'ai révé ou alors ton message " montrer le TVI sur [a,b] pour montrer le TVI" a disparu ..

[Anonyme]

Non je l'ai supprime tu n'a pas rêvé ^^

Mais le problème c'est qu'on a juste montré que le théorème est vrai pour tout intervalle borné de I. Donc pour les intervalles de type [a,+oo[ ça ne marche pas.

C'est pourquoi je ne pense pas que cela soit aussi directe que vous le dites.

[Anonyme]

De plus en utilisant cette même "logique" (Si c'est vrai sur n'importe quel intervalle borné de I alors c'est vrai sur I qui est non borné) on peut montrer beaucoup de choses fausses :

- Toute fonction continue est uniformément continue.
- Toute suite admet une sous suite convergente .

Je vous laisse continuer ..

[Nightmare]

Salut,

l'énoncé plus global du théorème des valeurs intermédiaires est que l'image continue d'un connexe de R est encore un connexe de R, où un connexe est grossièrement un ensemble composé d'un seul bloc, ce qui est le cas des intervalles du type ]a;+oo[. Et on démontre (en fait de la même manière que Bolzano démontre le TVI) que les connexes de R sont exactement les intervalles.

[benekire2]

En effet, j'ai encore dit de la merde, en y réfléchissant le théorème en "version de base" que j'ai énonce simplement que pour tout a,b de I, pour tout k' de [f(a),f(b)] il existe k de [a,b] tel que f(k)=k'

Mais bon l'autre version énonce que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Or I=]0,oo[ par exemple, donc f(]0,oo[) est un intervalle.

[benekire2]

De plus en utilisant cette même "logique" (Si c'est vrai sur n'importe quel intervalle borné de I alors c'est vrai sur I qui est non borné) on peut montrer beaucoup de choses fausses :

- Toute fonction continue est uniformément continue.
- Toute suite admet une sous suite convergente .

Je vous laisse continuer ..

Tient d'ailleurs j'ai repensé a ça, et j'ai fais un exo où je devais tennir a peu près le même raisonnement, et ça m'a troublé.

En voici un autre: Soit a un réel et f une fonction. Si pour tout b>a f est croissante sur [a,b] alors f est croissante sur [a,oo[

Donc ici ça marche. Et pourquoi pas sur les autres .. bon ok c'est visuellement évident , mais est-ce que quelqu'un aurait une preuve en toute rigueur que ça marche ou pas ? Ce serait vraiment cool, j'avoue que ça me trouble beaucoup.

Merci à vous !

[Nightmare]

Salut,

que veux-tu que l'on montre?

[benekire2]

Bah c'est bizarre en fait , je ois bien que montrer que pour tout b>a et pour a fixé que f est uniformément continue sur [a,b] n'implique pas du tout que f le soit sur [a,oo[ mais je n'arrive pas a le prouver de manière rigoureuse.

PAr contre pour l'exemple où "ça marche" que j'ai donné j'y arrive. Puisque si on prend au hasard x et y dans ]a,oo[ alors on trouve facilement un intervalle sur lequel appliquer la croissance de f.

Je pense que "le mystère" réside dans la définition de la continuité uniforme.

EDIT. Je viens de capter ... par exemple pour le coup de Bolzano Weirestrass sur n'importe quelle fonction, pour montrer que ce n'est pas possible , il me faut un K tel que pour tout n |u_n|