Théorème de convergence dominée.

[OscarLacoste]

Bonjour !

ça fait maintenant quelque jours que j'essaye de montrer que l'on peut appliquer le théorème de convergence dominée sur une somme partielle :

Voici l'exercice : Montrer que :



Avec fn décroit vers 0 pour tout n. Tous les fn sont intégrables et nous somme dans un espace mesuré.

Du coup je suis parti de la gauche pour pour écrire :



Cependant je ne suis déjà pas persuadé que ces étapes sont justes. Admettons : Il me resterait plus qu'à faire passer la limite dans l'intégrale grâce à la convergence dominée.

J'ai vu la preuve du critère des série alternée qui nous dis que Sn ( la somme partielle ) converge. Il reste à montrer que l'on peut majorer :
Selon moi on peut majorer ça par f_0 mais je ne sais pas du tout comment le montrer.

Une quelconque aide serait bien utile, merci à vous !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour te remettre les idées en place, je suggère que tu énonces le théorème de convergence dominée. Le but est que tu identifies bien les hypothèses, pour voir précisément ce que tu as à démontrer.

[OscarLacoste]

Bonjour!

Il faut que fn converge vers une fonction f sur E
Et il faut trouver g(x) intégrable tel que |fn(x)|<=g(x)

Pour moi ici le rôle de fn(x) est joué par :

Ainsi on pourra faire rentrer la limite dans l'intégrale.

Du moins c'est ce que j'en ai compris.

[GaBuZoMeu]

Tu donnes un énoncé trop approximatif du théorème de convergence dominée. Par exemple, tu ne précises pas le type de convergence.
Soit plus précis, tu auras les idées plus claires.

[OscarLacoste]

J'ai le théorème sous les yeux, ce n'est juste pas pratique de le réécrire complétement ici avec des belles notations.
Je veux bien me donner la peine si vous pensez que cela peut me débloquer.
Effectivement.
il faut être dans un espace mesuré (E,A,u) avec les (fn) mesurable à valeur complexe ou réelle telle que :
-La suite de fonction (fn)n converge simplement sur E vers une fonction f
- il existe une fonction intégrable g tel que :

Pour tout n appartenant aux entiers naturels, pour tout x dans E, |fn(x)|<=g(x)
Alors f est intégrable et :
La limite quand n tend vers l'infini de l'intégrale sur E de |fn-f|du est égale à 0
En particulier : la limite quand n tend vers l'infini de l'intégrale sur E de fndu est égale à l'intégrale sur E de la limite quand n tend vers l'infini de fn du, est égale à l'intégrale sur E de f du.

Voilà ..

[GaBuZoMeu]

Bien, donc tu as les hypothèses à vérifier. Tu as identifié ta suite de fonctions : la suite des fonctions .
Tu dois vérifier :
- que c'est une suite de fonctions mesurables
- qu'elle converge simplement
- qu'il existe une fonction h intégrable telle que pour tout n, .

Quel hypothèses as tu sur les ? Ce que tu as écrit plus haut n'est pas très clair, soit plus précis !

[OscarLacoste]

Enfaite je ne prenais pas la peine de mettre tous les détails parce que je voulais éviter de faire perdre du temps à ceux qui répondent parce que je me doute que vous savez très bien tous les détails qu'il y'a derrière et aussi pour se concentrer sur là où je pensais avoir des difficultés. Mais si ce n'était pas le cas et qu'au contraire ça vous a fait perdre du temps ou autre, je m'en excuse, et je parlerais de manière la plus précise possible dorénavant.

Très bien.
Effectivement fn est une suite décroissante vers 0 de fonction u-intégrable, donc les fk aussi.
Je suppose que cela implique qu'elles sont mesurables mais je ne sais pas comment précisément.
Je ne sais pas non plus si une somme finie de fonction mesurable est mesurable ou quelque chose comme ça.

Je sais que gn converge simplement car j'ai vu la preuve du critère des séries alternées qui coupe la somme en deux pour utiliser théorème des suites adjacentes. J'ai compris cette partie.

Pour la majoration par une fonction intégrable, je ne saisi pas bien si je dois majorer |fn| ou |gn| du coup
. Si je dois majorer | somme de 0 à n des (-1)^k.fk | je ne sais pas comment m'y prendre.

[GaBuZoMeu]

À quelle suite de fonctions comptes-tu appliquer le théorème de convergence dominée ?
C'est pour cette suite que tu dois vérifier les hypothèses de ce théorème.

[OscarLacoste]

Je comptais appliquer à la suite que vous avez appelé gn c'est à dire :

[GaBuZoMeu]

Donc tu sais ce que tu dois majorer.
Ce que tu as vu sur les séries alternées te donne la majoration voulue.

[OscarLacoste]

En regardant la preuve sur les séries cependant j'y ai vu que des majorations sur le reste et pas la somme partielle c'est pourquoi je suis venu ici.

[GaBuZoMeu]

Menfin ?

Tu as bien vu que la suite des sommes partielles de rangs pairs (en commençant à 0) est décroissante et majore la suite des sommes partielles de rangs impairs, non ?

[OscarLacoste]

Oui c'est exact, mais je n'arrive pas à relier avec Sn.

[OscarLacoste]

Du coup on à ça :



Mais je ne sais pas comment conclure.

[GaBuZoMeu]

la suite des sommes partielles de rangs pairs (en commençant à 0) est DÉCROISSANTE

[OscarLacoste]

Oui, c'est bien.
Vu que c'est décroissant je suppose qu'on peut dire.
S2n+1<=S2n<=S0
Mon problème est que la somme : Sn N'apparait pas explicitement je n'arrive donc pas à faire le lien entre S2n+1, S2n et Sn.

[GaBuZoMeu]

Mais qu'est-ce que tu racontes ? , c'est , non ?

Reprends les choses calmement.

[OscarLacoste]

Oui si tu préfères, je ne vois pas le lien entre
g2n+1,g2n et gn

je vois pas en quoi dire g2n+1 et g2n inférieur à g 0 nous dit : gn < go

[GaBuZoMeu]

Oh la la. Réfléchis à ce que tu écris !
Tu as l'air pas mal perdu. Ne vois-tu pas qu'avec les et les on a tous les ? Les pairs et les impairs, ça fait tous les entiers, non ?

[OscarLacoste]

Voilà c'est ce que je pensais.
J'avais compris sauf qu'il est légitime de ne pas comprendre tant qu'on a pas concrètement la somme gn majorée. Je me demandais si on pouvait écrire gn = g2n - g2n+1 ou quelque chose comme ça, ce qui est légitime comme question. Faut se mentaliser que n est quelconque ce sont des choses assez abstraites à se représenter.
J'avais compris mais je testais pour voir si tu pouvais apporter une réponse concrète avec bienveillance sans croire que la personne en face de toi n'est là que pour sa réponse et ne cherche pas à comprendre.

Mais non, c’est un comportement très mauvais et je préfère à l'avenir que tu t'abstienne de répondre à mes question et laisse la place à quelqu'un d'autre. Quitte à ne pas avoir de réponse.

Car je vais t'aider : oui il est possible d'avoir quelqu'un qui aime les maths qui veut de l'aide et y met du coeur pour comprendre et ne comprend pas, c'est à ce moment qu'une personne bienveillante peut apporter une explication sans jugement. Et c'est surement par la faute de gens comme toi qui ne peuvent pas admettre ça qu'on perd le goût à essayer de comprendre ou demander. Je comprends pas pourquoi tu viens "aider" en commençant avec des "ohlala". Tu devrais être content de pouvoir aider quelqu'un d'intéressé à comprendre.
Parce que je te le dis, la réponse pour compléter mon devoir j'en ai que peu à faire, c'est plutôt comprendre qui m'intéresse je préfère largement une bonne explication sans réponse concrète qu'une réponse concrète sans explication.

Donc ton "ohlala" déplacé tu peux le garder, oui j'ai réfléchis et oui ne pas comprendre peut arriver à quiconque de très intelligent, je ne prendrais pas la peine d'écrire sur des forums si j'avais tout compris. Si je poste c'est que je ne sais pas et que je cherche à savoir donc tu peux pas reprocher a quelqu'un qui cherche à savoir de ne pas savoir. Ne pense pas qu'à toi et comprends que quelqu'un peut avoir du mal à se représenter quelque chose (surtout avec des choses abstraites de ce type) et aide le avec bonne foie et envie sinon abstient toi. Une réponse adéquate aurait été :" La notation 2n+1 et 2n nous dis juste que la somme est majorée qu'importe si le n est pair ou impair donc la somme est majoré pour tout n." C’est cette petit subtilité de changement d’indice que je n’avais pas compris.
J’suis pas mal perdu, mais j’apprécie transmettre et recevoir à part quand c’est transmis de cette façon à contre coeur.
Il pourrait être bénéfique pour toi aussi d’apprendre des erreurs des autres pour cibler des difficultés et mieux voir ce qui peut poser problème à l’avenir si tu veux aider d’autre gens. Mais comme ça te dérange plus qu’autre chose tu t’en fiche certainement.
J'suis désolé mais tout n'est pas simple et si dès qu'on comprends pas on nous dit "ohlala réfléchis" le savoir est condamné à être perdu.