Convergence dominée

[qlampain]

Bonjour à tous,

Je dois montrer la continuité de F(x)= inegrale de 0 à +°° de te^-tx

J'ai trouvé que x appartient à l'interval ]0;+°°[

La fonction est continue par rapport à x pour x apaprtenant à ]0;+°°[
elle est continue par morceaux par rapport à t sur [0;+°°[

Il me reste donc à montrer la convergence dominée, je dois donc majorer la fonction par une fonction dépendant uniquement de t.

j'avais trouvé te^-tx< te^-t mais ça n'est vrai que pour x appartenant à [1;+°°[

Je n'arrive donc pas à majorer la fonction par une fonction dépendant de t pour tout x apaprtenant à ]0.+°°[. Car si on majore te^-tx par t cette integrale est divergente.

Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa!

[Monsieur23]

Aloha,

Que dirais-tu d'une domination locale ?

[qlampain]

Aloha,

Que dirais-tu d'une domination locale ?

C'est à dire? Je ne vois pas bien ou tu veux en venir
Sinon ce que j'ai écris dans mon post précedent est correct?

[abcd22]

Bonjour,
Il veut dire que la continuité est une propriété locale : pour montrer que F est continue sur ] 0; +infty [, il suffit de montrer que pour tout a > 0 (ou a dans un intervalle ] 0; quelque chose ]), F est continue sur [ a; +infty [. C'est une technique souvent utilisée pour montrer la continuité/dérivabilité d'intégrales à paramètres sur un intervalle ouvert.

[qlampain]

Bonjour,
Il veut dire que la continuité est une propriété locale : pour montrer que F est continue sur ] 0; +infty [, il suffit de montrer que pour tout a > 0 (ou a dans un intervalle ] 0; quelque chose ]), F est continue sur [ a; +infty [. C'est une technique souvent utilisée pour montrer la continuité/dérivabilité d'intégrales à paramètres sur un intervalle ouvert.

D'accord donc si je comprends bien si il ya continuité sur [1;+°°[ alors F est continue sur ]0;+°°[? car je vois pas trop rapport.

[Monsieur23]

Non.

Si pour TOUT a > 0, F est continue sur [a, +infty [ , alors F est continue sur ]0,+infty[

[qlampain]

Non.

Si pour TOUT a > 0, F est continue sur [a, +infty [ , alors F est continue sur ]0,+infty[

D'accord et dans mon cas, comment je peux m'en sortir?

[Monsieur23]

Eh ben tu trouves une majoration de ta fonction par une fonction qui ne dépend que de t, mais pour x dans [a,+infty[.

En fait, c'est comme tu as fait pour [1,+infty[, mais en remplaçant 1 par a !

[qlampain]

Eh ben tu trouves une majoration de ta fonction par une fonction qui ne dépend que de t, mais pour x dans [a,+infty[.

En fait, c'est comme tu as fait pour [1,+infty[, mais en remplaçant 1 par a !

Ok mais ca n'est vrai que si a>1 si a est compris entre 0 et 1 e^-tx<e^-t est faux.

[Monsieur23]

Si x>a, t*exp(-tx) < t*exp(-ta).

Et t -> t*Exp(-ta) avec a>0 est intégrable !