Intégration, théorème de convergence dominée.

[Hazar]

Bonjour,

Je ne suis pas très à l'aise avec l'intégration, voici donc mon exo :

1) Démontrer que , pour tout n, la fonction est intégrable sur [0,+infini[

2) Calculer :

Alors je me dis direct, théorème de convergence dominée pour la 2) en se servant de la majoration utilisée pour faire la 1).

Bref pour la 1) :

La fonction étant continue sur [0,A], A>0, elle y est intégrable et en +l'infini on a cvs vers 0.


Les conditions du th de convergence dominée sont remplies, on peut inverser intégrale et limite, mais là j'ai des gros doutes, la logique voudrait qu'il ne me reste plus que l'intégrale de 0 à 1, tombant ainsi sur arctan(1)=Pi/4, mais du coup on oublie ce qui se passe en 1 ? Je suis perplexe.

[kissifrot]

Bonjour,

Je ne suis pas très à l'aise avec l'intégration, voici donc mon exo :

1) Démontrer que , pour tout n, la fonction est intégrable sur [0,+infini[

2) Calculer :

Alors je me dis direct, théorème de convergence dominée pour la 2) en se servant de la majoration utilisée pour faire la 1).

Bref pour la 1) :

La fonction étant continue sur [0,A], A>0, elle y est intégrable et en +l'infini on a cvs vers 0.


Les conditions du th de convergence dominée sont remplies, on peut inverser intégrale et limite, mais là j'ai des gros doutes, la logique voudrait qu'il ne me reste plus que l'intégrale de 0 à 1, tombant ainsi sur arctan(1)=Pi/4, mais du coup on oublie ce qui se passe en 1 ? Je suis perplexe.

Oui, en règle générale, la valeur d'une fonction en un point n'influe pas sur a valeur de l'intégrale (car un singleton est de mesure nulle). Au voisinage de zéro, je ne vois pas de problèmes particuliers, la fonction y est bien définie, ce qu'il faut faire (et ce que tu as fait) c'est bien de vérifier les hypothèses du TCD en l'infini.

[Luc]

Bonjour,

Bref pour la 1) :

La fonction étant continue sur [0,A], A>0, elle y est intégrable et en +l'infini on a cvs vers 0.

Ok.

On a l'hypothèse de domination avec 1).

Sur quel intervalle? J'imagine que tu as séparé l'intégrale entre et
- Sur :
Explicitement quelle est ta fonction de domination? J'imagine que c'est , qui est effectivement intégrable sur .
Quelles sont les autres hypothèses du théorème de convergence dominée?
- Sur :
Comment justifies-tu l'inversion limite-intégrale et comment montres-tu que la limite est nulle?

Luc

[Hazar]

- Sur :
Explicitement quelle est ta fonction de domination? J'imagine que c'est , qui est effectivement intégrable sur .
Luc

J'avoue ne pas m'être préoccupé de dominer la fonction sur [0,1], mais du coup, la fonction de domination étant différente selon l'intervalle considéré, cela ne pose pas de problème pour l'intégrabilité de cette dernière? Exemple : Sur [2,+infini[ la fonction qui à x associe sur [2,5] et qui a x associe sur ]5,+infini[ est-elle intégrable ?

Quelles sont les autres hypothèses du théorème de convergence dominée?
Luc

Et bien à part l'hypothèse de domination, il faut qu'il y ait convergence simple de sur l'intervalle considéré.

- Sur :
Comment justifies-tu l'inversion limite-intégrale et comment montres-tu que la limite est nulle?
Luc

Je ne comprends pas ta question, sur toute les hypothèses du théorème étant vérifiées, on peut procéder à l'inversion et on se retrouve avec l'intégrale de 1 à l'infini de la fonction constante nulle.

[Luc]

Oui, ce que j'ai dit n'était pas très clair, je reformule :

Sur :
- converge simplement vers
- est dominée par une fonction intégrable (par exemple )
- donc on peut intervertir limite et intégrale, et la limite quand de l'intégrale entre et de vaut

Sur :
- converge simplement vers la fonction nulle
- est dominée par une fonction intégrable (par exemple )
- donc on peut intervertir limite et intégrale, et la limite quand de l'intégrale entre et de vaut

Effectivement, tu n'es pas obligé de séparer les intervalles, mais il faut alors bien définir la limite simple de .
Conclusion: La limite cherchée vaut