Taylor-Young ...

[AceVentura]

Re bonjour,
voici maintenant Taylor-Young. f est une fonction numérique ayant une dérivée d'ordre n en , alors .

Quand je m'attaque à la démonstration, je m'aperçois que je ne sais pas bien ou se ballade le "x" ! Avoir une dérivée d'ordre n en a ça veut dire être (n-1) fois dérivable sur tout un voisinage ouvert de a et est dérivable en a, non ?

Le cas n=0 dit que f(x)=f(a)+o(1) ce qui est vrai car avoir une dérivée d'ordre 0 en a, ça veut dire être continue en a et donc .

Le cas n=1 dit que f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a) ce qui est encore vrai car f est dérivable en a et donc .

Maintenant, récurrence, f est une fonction numérique ayant une dérivée d'ordre (n-1) en , alors par hypothèse : ok, mais ou ? Ou est x ?

"l'astuce" c'est de poser et de montrer que . Ici, je suis perdu :hein: :hein:

[MacManus]

Bonjour.

En fait cette formule de Taylor-Young est définie sur un voisinage ouvert d'un réel a, par exemple le voisinage , avec . Donc on doit avoir

[AceVentura]

Donc le voisinage ouvert en question, c'est ?
Comment faire l'hérédité ? Je ne la saisi pas. L'hypothèse de récurrence, c'est que .

Si je pose et que je montre , je vais avoir, pour tout , l'existence d'un tel que et donc avec l'inégalité des accroissements finis et donc .

Voici la démonstration !
Mais je ne saisi pas comment d'une part démontrer avec l'hypothèse de récurrence et l'inégalité des accroissements finis : t est entre x et a, et, x est tel que pour un certain eta. Ca ma l'air bien confus, aussi je ne suis pas certain que cela soit correct.

[Ben314]

Fait attention à deux trucs :

1) (pas trés grave) "étre 0 fois dérivavle", il me semble pas que ça veuille dire étre continue... (je vois absolument pas pourquoi ça dirait ça...)

2) (++ grave) On ne peut jamais dériver des o(h). Etre o(?) ça siginife "être trés petit", or, temps qu'elle n'es pas totalement égale à 0, le fait qu'une fonction est "trés petite" ne donne aucune information sur sa dérivée : elle pourrait faire de minuscules (en amplitude) oscillations sur une période extrêmement petite d'ou des taux de variations trés élevés.

Par contre, on peu intégrer des o(?) : si f est trés petite alors la "surface sous f" est trés petite.
Cela signifie que, si tu procède par récurence, ton hypothèse de récurence, c'est pas à f que tu doit l'appliquer, mais à f' [bien entendu aprés avoir justifié proprement que, si g(x)=o(x-a)^n alors G(x)=intégrale de a à x de g(t) dt est quand à lui o((x-a)^(n+1)).

P.S. Pour l'exemple des o(?) que l'on ne dérive pas, l'exemple archi classique est h(x)=x^(n+1)sin(1/x^n) pour x non nul et h(0)=0.
La fonction h est o(x^n) en 0 [pourquoi] et la dérivée est h'(x)=... qui n'est même pas o(1) !!!

[AceVentura]

Pour la remarque (1), je voulais dire "avoir une dérivée d'ordre 0 en a" c'est équivalent à ce que f est continue en a, non ?
Pour la remarque (2), je vois ! On veut montrer que :
" lorsque f a une dérivée d'ordre n en a "

Alors en n=0, c'est la remarque (1).
Maintenant, l'hérédité, . On se donne donc une fonction f ayant une dérivée d'ordre n en a. Alors f' est une fonction ayant une dérivée d'ordre n-1 en a, et on peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : sur un intervalle du type avec h>0, on a (*).

Maintenant, on pose . On voit via (*) que , ce qui signifie que (donc ? Qu'est-ce qui garantit que c'est pas vide tout ça ?).

Puis on utilise les accroissements finis : ou le sup est pris pour t entre x et a. Mais on sait que si t est dans , . Alors la question que je me pose, c'est est-ce que si t est entre x et a, alors t est bien dans (a suppose que cette intersection soit non vide !).

Mis à part ces détails, j'ai saisi la fin de la démonstration.

[AceVentura]

Deux autres questions !
On suppose f de classe . Déduire Taylor-Young de Taylor reste intégral, puis de l'égalité de Taylor-Lagrange.

Bon alors, dans le premier cas il s'agit de prouver que et dans le second que avec des notations "classiques".

Pour le premier, j'essaye une majoration où . Et je suis pas certain de pouvoir écrire la première égalité : . Dans ce cas, on aurait : et cette dernière quantité tend vers 0, et donc le théorème d'encadrement permet de conclure.

Pour le second, et cette quantité tend vers 0. Cela m'a l'air trop simple !

Qu'en pensez-vous ?

[Ben314]

La première égalité : n'est effectivement valable que lorsque x>a [bornes dans le bon sens et quantité intégrée positive] OU BIEN xa et xa et terminer par un vague "le cas x<a se traite de la même manière".

Pour la seconde preuve, c'est presque O.K., sauf qu'il faut absolument noter à la place de pour bien montrer qu'il dépend de x !!!
Ensuite, il faut remarquer que, comme il est entre a et x, lorsque x tend vers a, et bien tend aussi vers a (th. des gendarmes), et, comme est supposée continue, tend gentiment vers .

[AceVentura]

Salut Ben, merci pour la correction dans la preuve de Young à partir de Lagrange. Pour ce qui est de Young à partir de Laplace, c'est vrai que ça cloche.

Il faut donc décider si x>a ou xa, alors :

(propriétés de la valeur absolue)
(car x>a)
(inégalité triangulaire pour les intégrales)
(propriété de l'ordre pour les intégrales)
(car donc donc et )

Et le reste vient tout seul en calculant l'intégrale : .

Donc, en conclusion, et cette dernière quantité tend vers 0 lorsque x tend vers a.

Le cas x<a ... se traite de la même manière ^^
Qu'en penses-tu ?
PS : que penses-tu du message d'hier à 17h49 ?

[Ben314]

Bon, là ça fonctionne.
Par contre, je (ré)insiste, une fonction qui "a une dérivée d'ordre 0 en a", je vois pas du tout en quoi ça signifie qu'elle est continue. Tu te mélangerais pas les pinceaux avec "être de classe C^n en a" par hasard ? (être C^0 en a, ça veut bien dire être continu en a...)

Pour le message d'hier à 17h49, ben j'en pense pas grand chose, vu que je vois pas trop duquel tu parle...

[AceVentura]

Oui, je confond avec le fait d'être de classe ! Pourtant, Taylor-Young est vrai pour n=0, non ?

Sinon, le message dont je parle est celui-ci :

Pour la remarque (1), je voulais dire "avoir une dérivée d'ordre 0 en a" c'est équivalent à ce que f est continue en a, non ?
Pour la remarque (2), je vois ! On veut montrer que :
" lorsque f a une dérivée d'ordre n en a "

Alors en n=0, c'est la remarque (1).
Maintenant, l'hérédité, . On se donne donc une fonction f ayant une dérivée d'ordre n en a. Alors f' est une fonction ayant une dérivée d'ordre n-1 en a, et on peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : sur un intervalle du type avec h>0, on a (*).

Maintenant, on pose . On voit via (*) que , ce qui signifie que (donc ? Qu'est-ce qui garantit que c'est pas vide tout ça ?).

Puis on utilise les accroissements finis : ou le sup est pris pour t entre x et a. Mais on sait que si t est dans , . Alors la question que je me pose, c'est est-ce que si t est entre x et a, alors t est bien dans (a suppose que cette intersection soit non vide !).

Mis à part ces détails, j'ai saisi la fin de la démonstration.

[Ben314]

Pour moi, Taylors-Young est faux pour n=0 si on ne suppose pas f continue (et je persiste à penser que "0 fois dérivable en a", il n'y a aucune raison que ça veuille dire continue...)

Pour ton "post de 17h49 :

- Le début, c'est O.K. sauf que dans [TEX]|g'(x)| fait un dessin !!!

[AceVentura]

Prenons alors.
f est une fonction de I dans ayant une dérivée d'ordre 1 en : ça signifie juste que f est dérivable en a ?!
Donc :

Ceci initialise la récurrence.

Maintenant, si , supposons que f a une dérivée d'ordre n en a. Alors f' a une dérivée d'ordre n-1 en a et par hypothèse récurrente :
.
Soit encore avec g la fonction définie par .


Avec la définition comme limite du petit o, il vient que .


L'intersection est en effet non vide , j'ai vu avec un dessin !


Donc x se ballade la dedans et, via l'I.A.F, on a pour t entre x et a.


Mais, si t est entre x et a, comme , t est forcément dans cette intersection ! Donc . Il suit que .

Ce qui ce que l'on attend !!! A savoir :
ie

J'espère que cela est correct. Le mystère reste donc entier pour f admet une dérivée d'ordre 0 en a :doh:

[AceVentura]

Je vois pas pourquoi, on peut supposer sans perte de généralité que ?!

[AceVentura]

:hein: ??

[Ben314]

C'est le principe de "qui peut le plus peut le moins".
Si je te dit qu'un truc est vrai pour tout x entre -1 et +1, puis que je te demande si c'est vrai pour tout x entre -1/4 et +1/4, tu me répond quoi ?

En résumé, si une proposition du type :
" on a ..."
est vrai par exemple pour alors, évidement, c'est aussi vrai pour n'importe quel .
Ca permet de dire que, si besoin est, on peut choisir le plus petit qu'un truc fixé.

[AceVentura]

Ok, merci bien Ben. Efficace comme toujours tes explications :)