Systèmes Linéaires (Mathématiques L1)

[Ptitefofoo]

Bonjour j’ai un exercice de maths avec QCM et je n’arrive pas à trouver les bons résultats voici l’énoncé:

On considère un système homogène de 3 équations à 2 inconnues, on note S son ensemble de solutions. Cochez toutes les propositions qui sont vraies quel que soit le système considéré:

A. S est infini.
B. S n’est pas vide.
C. S n’est jamais infini.
D. S= l’ensemble vide
E. Aucune de ces réponses n’est correcte.

Je ne sais pa vraiment de quoi partir.. est-ce que le fait qu’il soit homogène est censé nous aiguiller ? Si oui de quelle manière s’il vous plaît ?

Dans la suite de l’exercice on a une question similaire la voici :

On considère un système de 2 équations à 3 inconnues, on note S son ensemble de solutions. Cochez toutes les propositions qui sont vraies quel que soit le système considéré:

A. S est infini.
B. Il n’y a pas une unique solution.
C. S = l’ensemble vide
D. S n’est pas vide
E. Aucune de ces réponses n’est correcte.

D’après moi les réponses correctes auraient été la A et B mais dans la correction seule la réponse B est cochée, pourriez vous m’aider à comprendre pourquoi s’il vous plaît..

Merci d’avance pour toute l’aide que vous m’apporterez!

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Oui, bien sûr, le fait que le système soit homogène est important pour la première question. Un système homogène a toujours une solution triviale. Vois-tu laquelle ?

Pour la deuxième question, un système non homogène de 2 équations à un nombre quelconque d'inconnues n'a pas forcément de solution. Pense à deux hyperplans parallèles.

[Ptitefofoo]

Merci pour votre retour !
Honnêtement je ne sais pas vraiment..
Dans ce cas ci on a 3 equations à 2 inconnues donc ça définit trois droites qui peuvent être parallèles entre elles du coup il pourrait y avoir aucune solution. Ensuite elles pourraient s’intercepter en 1 point, il y aurait donc une unique solution. Ou alors elles pourraient être toutes superposées et dans ce cas il y’aurait une infinité de solutions.. Voilà mon raisonnement, mais il ne marche pas puisque ça n’est pas la solution du coup je ne sais pas..

Pour la seconde question effectivement, je n’avais pas vu cela merci ! Donc ici la réponse serait "il n’y a pas une unique solution" pour un tel système, c’est bien ça ?

[GaBuZoMeu]

N'oublie pas, pour la première question que le système est HOMOGÈNE. Qu'est-ce que ça veut dire ?

[Ptitefofoo]

Que y’a un zéro à droite de chaque équation mais je ne sais pas ce que cela veut dire graphiquement..

[Ptitefofoo]

J’aurai une autre petite question, si l’on me demandais par exemple de créer un système d’équations qui aurait : plus d’équations que d’inconnues et une unique solution. Comment devrais-je m’y prendre s’il vous plaît ?

De même pour la création du même système mais avec cette fois-ci une infinité de solutions.

Merci d’avance !

[GaBuZoMeu]

Peux-tu m'écrire un exemple d'équation de droite homogène ? D'équation de droite non homogène ? Graphiquement, à quoi voit-on qu'une droite a une équation homogène ?

[Ptitefofoo]

Bien dans mon cours il est dit que si tout les termes donnés à droite de l’égalité sont nuls, alors le S.L est dit homogène. Donc par exemple x+y+z=0 ou encore x-2y=0 non ?

Une équation de droite non homogène serait par exemple:
x+y+z=3 d’après mon cours.

Pour la dernière question je ne sais pas car comme je vous l’ai dit je comprends pas quelle est l’interprétation graphique de cela.

[GaBuZoMeu]

Tu mets trois coordonnées dans une équation de droite (dans le plan) ????
Que vois-tu graphiquement comme différence entre une droite dans le plan qui a une équation homogène et une droite dans le plan qui a une équation non homogène ? (Fais un dessin !)