[MPSI] Système n,n

[Majaspique]

Bonjour, voici l'énoncé :

Énoncé :

Soient a et b deux réels distincts, , ..., n réels quelconques. Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que le système suivant soit de Cramer et le résoudre dans ce cas :



Voici mes recherches :
Recherches :
On a le système :
https://prnt.sc/l0h5ex

On échelonne le système :
https://prnt.sc/l0h6pn (j'ai soustrait la ligne avec la précédente à chaque fois. Pour L1, j'ai fais L1-Ln)
https://prnt.sc/l0h7bl

n équations à n inconnues de rang n donc le système est de Cramer.
Le problème est qu'il est de Cramer dans tous les cas, ce qui me paraît bizarre.

Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Pour commencer, ta formule

C'est pas mal n'importe quoi.
Vu le contexte de l'exo, le il est fixé une bonne fois pour toute avant d'écrire le système donc tu as sûrement pas un devant tes équations.
Ensuite, dans la formule elle même, tu as un qui traîne dont on a aucune idée du sens.
Bref, tes équations, c'est ça : où le est considéré comme une constante connue.

Ensuite, d'essayer d'échelonner le système, c'est pas con (c'est évidement pas la seule méthode et c'est pas sûr que ça marche super bien avec un nombre non "réellement" connu d'équation, mais si on essaye pas, ben ne saura pas...)
Sauf que "d'échelonner" un système, certes, ça consiste à prendre une ligne et à la retrancher (éventuellement multipliée par un truc) aux autres. Sauf qu'on fait pas ça au pif complet : on a un objectif (lequel ?) et on fait certaines opération dans le but de se rapprocher de cet objectif.
Là, ce que tu as fait comme opération, tu as l'impression que ça a simplifié le problème ou pas ?

[Majaspique]

Non, effectivement ça l'a rendu compliqué à résoudre.
L'objectif serait de déterminer les variables par remontée (dans le cas général).
Mais je ne vois pas comment échelonner un tel système dans cet objectif.

[Ben314]

D'un autre coté, je suis pas sûr que ce que j'ai dit soit très malin vu que je suis pas sûr d'avoir compris quelle opération tu avait fait sur ton système.

A mon avis, un truc qui serait pas con si on veut continuer à discuter sur le forum, c'est
1) De fixer n (par exemple 4) pour pas être emm... avec les points de suspension (on verra ensuite comment gérer le cas quelconque)

2) Que tu te mette un minimum au MimeTeX :

Et là, c'est pas compliqué : tu "cite" mon message, tu efface tout le blabla pour ne garder que le système et tu modifie ce qu'il y a à modifier (en te préoccupant pas outre mesure des \left\{ et autre \end{matrix})

Bref, sur ce système là (juste au dessus), tu ferrais quoi ?

[Majaspique]

Ce que j'avais fait en gros c'est : L1 ← L1 - L4 ||| L2 ← L2 - L1 ||| L3 ← L3-L2 ||| L4 ← L4 - L3 d'où :



Mais effectivement, ça ne permet pas de résoudre le système.

[aviateur]

Bonjour
Eventuellement, tu peux ça pour la première question: avoir un système de Cramer cela signifie que ton système à une solution unique. Autrement dit la CNS, c'est que le déterminant doit être différent de zéro.
Or le déterminant est facile à calculer. En effet, c'est un polynôme homogène de degré n et si tu le regardes comme un polynôme p(a) de la variable a (b considéré comme une constante), tu vois que si a=b la matrice est de rang 1 donc b est une racine d'ordre n-1 de p(a). Il vient p(a)=(a-b)^(n-1)\times( a+x b)
Et x se trouve facilement en utilisant la trace qui vaut na.

[Majaspique]

Or le déterminant est facile à calculer. En effet, c'est un polynôme homogène de degré n et si tu le regardes comme un polynôme p(a) de la variable a (b considéré comme une constante), tu vois que si a=b la matrice est de rang 1 donc b est une racine d'ordre n-1 de p(a). Il vient
Et x se trouve facilement en utilisant la trace qui vaut na.

Alors, je n'ai pas vu les matrices donc je n'ai pas vraiment compris ce que tu as dis.

[aviateur]

Bonjour
De même, on peut résoudre le système car par le même procédé on peut inverser la matrice assez facilement
En effet si on note la matrice du système M_n=[[a,b,b.....,b],[b,a,b,.....],.....]] et désignons par D_n=Det[M_n]
(calculé selon mon post précédent)


Alors on voit que tous les cofacteurs de la diagonales sont égaux et valent D_{n-1}.
Pour les cofacteurs en dehors de la diagonale après avoir fait un début de développement judicieusement choisi on voir apparaître le facteur D_{n-2}.
On peut surement faire autrement mais passer ici par l'écriture matricielle, à mon avis c'est une bonne idée.

[aviateur]

Alors, je n'ai pas vu les matrices donc je n'ai pas vraiment compris ce que tu as dis.

Ah oui ça change tout.
Néanmoins il faut rester sur ce que vous faites mais tout en sachant que surement (a-b) va apparaitre n-1 fois.

Alors comme le dit @ben je travaillerai sur n=3 ou 4 car n quelconque c'est du pareil au même.

[Ben314]

Ce que j'avais fait en gros c'est : L1 ← L1 - L4 ||| L2 ← L2 - L1 ||| L3 ← L3-L2 ||| L4 ← L4 - L3 d'où :



Mais effectivement, ça ne permet pas de résoudre le système.

Ca te permet pas de résoudre complètement, mais ça fait "grandement progresser" vu que les nouvelles équations contiennent nettement moins d'inconnues .
Donc c'est une très bonne première étape. Sauf que ton nouveau système ne dit pas exactement la même chose que l'ancien :
Que dit le premier système dans le cas où a=b=c1=c2=c3=c4 ? et le second ? ont-ils exactement les mêmes solutions ? pourquoi ça déconne ? (i.e. quelle est la "règle" concernant la méthode du pivot de Gauss que tu n'a pas respectée)

[aviateur]

rebonjour
alors ce que je ferai c'est ceci.
Tu pose a=b+c (c=a-b)
et ton système s'écrit

où j'ai pose
A mon avis ça doit faciliter la résolution.

[aviateur]

Bon, j'interfère avec @ben
désolé.

[Ben314]

Bon, j'interfère avec @ben
désolé.

Non, non, vas-y, continue (surtout que là, je vais me barrer assez vite...)

[aviateur]

Bon ok: alors
reprenons ta méthode: Tu as un système au départ et tu fais certaines opérations sur les lignes pour obtenir un nouveau système plus intéressant a priori. Mais tes opérations sont faites un peu sans te préoccuper de voir si le nouveau système est équivalent au premier (la méthode de Gauss passe d'un système à un (ou des ) système équivalent.
Or pour toi ce n'est pas le cas. Tu perds l'équivalence.
Pour le voir
tes 4 nouvelles équations sont
L1-L4; L2-L1;L3-L2;L4-L3.
Mais si tu ajoutes (L1-L4)+(L2-L1)+(L3-L2) tu trouves L4-L3 (au signe près) donc ta 4ème équation est redondante
(quelque part tu as perdu une équation).
A mon avis essaye de faire comme j'ai dit.

[jlb]

Sinon, une méthode classique, c'est d'appeler S=x1+...+xn et d'ajouter toutes les équations. Et après, tu discutes! euh, et tu discutes un peu mais pas trop quand même!!

[aviateur]

jlb, tu ne fais que dire ce que j'ai dit! S c'est mon "u"

[jlb]

oups! je n'ai pas lu tous les messages, j'ai réagi à la vue du système proposé! Désolé, d'avoir interféré, bonne continuation. Et pis, en plus, je lui ai dit d'ajouter toutes les équations

[Majaspique]

Si je suis ce que tu dis, j'obtiens :



Donc je fais L2 ← L2 - L1 pareil pour L3 et L4 :



ou si je garde bu ça donne :

[aviateur]

Pas du tout jlb. C'est simplement une remarque ça arrive souvent.

[jlb]

Pas de soucis aviateur! Bonne continuation, tu vas avoir du taf!! @ Majaspic, écris toutes les lignes du système comme Aviateur te l'a indiqué. Et regarde ce qu'il se passe qd tu additionnes toutes les lignes du système.