[MPSI] Système n,n

[aviateur]

Bon Ok c'est bien,
Ce n'est pas fini mais là c'est équivalent.
Donc à partir de la ligne 2, 3,.... tu peux calculer x_2,x_3,.... en fonction de x_1 et réinjecter cela dans la première équation.
Tu auras alors une équation d'inconnue x_1 à résoudre puis finalement x2,...x3 vont tomber.
Attention, tu n'a pas calculé le déterminant donc a priori tu ne sais pas quand tu as une solution unique.
Mais dans tes calculs ceal va apparaitre, à ne pas oublier.
Oui j'ai pas vuu le message dernier message de jlb. Tu peux faire aussi un peu différemment mais je crois que l'essentiel c'est de remplacer le système par des système equivalent.

[Majaspique]

J'obtiens ça :















Je ne sais pas si on peut aller plus loin (avant de discuter & résoudre)

[aviateur]

Donc on voit que si c+4 b=0 (i?e a+3 b=0 dans un de mes messages c'était le facteur a+ x b avec ici x=3 qu'il fallait trouver mais on le voit ici. )
le système n'est pas de Cramer? En effet la première équation a pas de solution ou bien une infinité.
Donc on suppose que c+4 b\neq 0 ettu peux calculer x_1 et finir.
Attention tu a oublié le cas c=a-b=0 qui va te montrer que tu n'a pas un système de Cramer dans ce cas.

Pour info le déterminant, si tu sais le calculer c'est (a-b)^{n-1}(a+(n-1)b). Donc tu dois trouver dans tes calculs
2 pb a-b=0 et (a+(n-1)b)=0.

[Majaspique]

Donc on voit que si (i?e dans un de mes messages c'était le facteur a+ x b avec ici x=3 qu'il fallait trouver mais on le voit ici. )
le système n'est pas de Cramer? En effet la première équation a pas de solution ou bien une infinité.
Donc on suppose que et tu peux calculer et finir.
Attention tu a oublié le cas c=a-b=0 qui va te montrer que tu n'a pas un système de Cramer dans ce cas.

Pour info le déterminant, si tu sais le calculer c'est . Donc tu dois trouver dans tes calculs
2 pb et .

Cas 1 : c+4b = 0 → le système n'est pas de Cramer car coefficient nul
Cas 2 : c+4b 0 → le système est de Cramer donc :



Or c = a-b d'où S = {}.

Le cas où c = 0 n'a pas lieu car on ne peut pas diviser par 0 si je ne m'abuse ?
Je ne sais pas ce qu'est le déterminant.
Enfin, on peut remplacer la variable c par n'importe quel autre lettre (car là on peut confondre avec ) ?

[aviateur]

Rebonjour
Malgré tout, je pense qu'il serait bien de répondre à la première avant de résoudre le système.
Au moins on est beaucoup plus libre dans les calculs.
Evidemment la notion de déterminant est intéressante à utiliser mais comme tu ne l'a pas vu, tu peux faire comme cela:

On sait que le système est de Cramer ssi le système homogène associé (i.e c_i=0,i=1,...,n) admet comme unique solution la solution triviale. Considérons alors une solution du système homogène:
alors on a (avec mes notations)

Ajoutons les n égalités, cela donne c u + nb u=0, soit (c+nb)u=0 ( pour mémoire c+nb=a+(n-1)b).
Donc si alors u=0.
Il vient alors et si , il vient

Pour résumé on a montrer que si et le système est de Cramer.

Il reste à montrer que dans les 2 cas et le système n'est pas de Cramer.

Supposons que a+(n-1)b = 0 alors on voit que (1,...,1) est solution.

Pour a-b=0 c'est facile à trouver des solutions (le système étant de rang 1) , je te laisse faire

[aviateur]

Remarques: Concernant ta réponse.
1.Du point de vue notation j'ai mis c (pour une raison pratique mais tu peux laisser a-b. )
2. Je ne suis pas d'accord concernant la division par zéro. Si dans les calculs tu dois diviser par (a-b) par exemple, ça ne prouve pas que le système est de Cramer, tu peux le conjecturer mais c'est pas une preuve. Pour cela voir mon message précédent).
3. Concernant la résolution c'est ça mais normalement tu dois remplacer x_1 par sa valeur pour x_2,....x_n et simplifier. Je dis bien que c'est correct mais ça doit être synthétique.

Finalement voici comment mener les calculs (remplacer c et u par leur valeur)
On suppose maintenant que c et c+nb sont non nuls

le système c'est

On ajoute membre à membre d'où

d'où

On trouve alors

ça demande seulement quelques lignes et c'est concis et clair.