Sylow (re-suite)

[simplet]

Soit H un p-ss-groupe de G, S un p(Sylow de G. Considérons l'action de H sur G/S=X. (je suppose par conjugaison=automorphisme intérieur).

Comme card(X) est premier à p alors il en est de même pour l'ensemble des points fixes de X par l'action de H (il suffit de prendre la formule des classes) qui est a fortiori non vide.

Ce qui coince vient maintenant:
" Mais alors il existe x dans X tel que H soit inclu dans l'ensemble des points de G qui laissent fixe x." (pourquoi ca??)

Le deuxième truc qui me pose problème c'est pourquoi l'ensemble des points de G qui laissent fixe x est un conjugué de S??



merrccii

[tize]

Je suis pas très sur mais voila :
LE nombre pf de point fixe de X sous H est premier avec p donc pf>0.
Il existe donc x dans X point fixe sous H donc |orbite(x)|=|H|/|stab(x)|=1 (ou stab(x) est un sous groupe de H) donc stab(x)=H qui alors bien inclu dans l'ensemble des éléments de G qui laissent fixe x.
Pour le deuxième "truc" si laisse fixe (ou a est un representant de x) alors car je pense qu'il s'agit d'une action par translation à gauche. et donc pour il existe tel que donc et on a bien

en esperant t'avoir aider

[simplet]

LE nombre pf de point fixe de X sous H est premier avec p donc pf>0.

On a "pf est premier à p" et tu n'en tires seulement que "pf>0", mais on a beaucoup plus fort quand même, on ne peut rien en tirer d'autres??

Aussi, on peut passer de la premiere à la deuxieme question en pensant à "les stabilisateurs des différents points d'une orbite sont conjugués entre eux"... petit lemme que je n'ai pas (encore) réussi à montrer...

[simplet]

Je rappelle ce qu'on a:
H est dans le stabilisateur de x (noté Stab(x)) et je veux montrer que
Stab(x)=gSg-1 , ce qui impliquera que H est dans le conjugué d'un p-Sylow, donc d'un p-sylow.

Pour y arriver on a Stab( cl(1) )=S et Stab( g.cl(1) )= Stab (cl(g) = [par définition de x=cl(g)] =Stab(x)=gSg-1 CE QU4ON VOULAIT!!

La question (simpliste sans doute) est pourquoi g.cl(1)=cl(g)???
Parce que g.cl(1)=g.1.S=gS=cl(g) !ok! Mais n'y a-t-il pas un autre moyen sans revenir à la forme des éléments de G/S en tant que sous ensemble de G???

[abcd22]

On a "pf est premier à p" et tu n'en tires seulement que "pf>0", mais on a beaucoup plus fort quand même, on ne peut rien en tirer d'autres??

Pour montrer le 1er point qui te posait problème on a juste besoin de de pf > 0, mais en fait tu avais déjà dit

Comme card(X) est premier à p alors il en est de même pour l'ensemble des points fixes de X par l'action de H (il suffit de prendre la formule des classes) qui est a fortiori non vide.

et le fait qu'il existe x dans X tel que H soit inclus dans l'ensemble des points de G qui laissent fixe x est juste une autre façon de dire que l'ensemble des points de X fixes par l'action de H est non vide.

[abcd22]

Aussi, on peut passer de la premiere à la deuxieme question en pensant à "les stabilisateurs des différents points d'une orbite sont conjugués entre eux"... petit lemme que je n'ai pas (encore) réussi à montrer...

Pour ce lemme, pour une action quelconque d'un groupe G sur un ensemble X, si x et y sont dans la même orbite, , alors ssi ssi ssi ssi .

Si tu veux utiliser ce lemme tu es obligé de revenir à la forme des éléments de X comme tu as fait, car il faut dire que x est dans l'orbite de Cl(1), ça vient du fait que l'action de G sur G/S est transitive en fait, et ce n'est pas le cas de toutes les actions.

Sinon la démonstration directe de tize était bonne aussi.

[simplet]

mercii , en fait j'avais apres coup demontré le petit lemme qui était de surcroit facile mais une éventuelle vérification apaise tjs les esprits..

Sinon je pense en avoir fini avec les résultats de sylow (le troisieme point est le plus facile) et je vous remerci de m'avoir aidé!

Pour terminer, je dois avouer que j'ai trouvé ces résultats de sylow trés marrant (mm si c'était des heures sup, jss en vacances depuis 2 semaainnes!!!!!)

bonnes vacances à vous!!